5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46 的最小值及取最小值时的 a, b 值

要找到 5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46 的最小值，可以使用二次型的方法。

首先，我们将该式子看作关于 a 和 b 的二次型：Q(a,b) = 5a^2 + 6ab + 3b^2 - 30a - 20b + 46。

接下来，我们需要将二次型 Q(a,b) 转化为标准形式，即通过配方将一次项系数消去。为此，我们需要找到一个合适的变换矩阵 T，使得 Q(a,b) = (a,b)·T·(a,b)。其中，T 为对称矩阵。

通过求解矩阵 T，我们可以得到：

T = [[5, 3], [3, 3]]

接下来，我们需要将 T 对角化，即找到一个合适的正交矩阵 P，使得 P^T·T·P = D，其中 D 是对角矩阵。

通过求解矩阵 P 和 D，我们可以得到：

P = [[1/√2, -1/√2], [1/√2, 1/√2]] D = [[10, 0], [0, -2]]

将二次型 Q(a,b) 转化为标准形式即为：

Q(a,b) = 10x^2 - 2y^2

其中，x = (a,b)·P·(1/√10, 1/√2) = (1/√10)(a-b) + (1/√2)(a+b) = (a+b)/√2 y = (a,b)·P·(1/√10, -1/√2) = (1/√10)(a-b) - (1/√2)(a+b) = (a-b)/√2

因此，Q(a,b) = 10x^2 - 2y^2 = 10(a+b)^2/2 - 2(a-b)^2/2 = 5(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 7a^2 + 4ab + 3b^2

现在，我们需要找到 Q(a,b) 的最小值。由于 7a^2 + 4ab + 3b^2 的系数都是正数，所以最小值发生在二次型的顶点处。

要找到二次型的顶点，我们可以令一阶偏导数等于 0，并解得 a 和 b 的值。

∂Q/∂a = 14a + 4b = 0 ∂Q/∂b = 4a + 6b = 0

解得 a = -2，b = 7/3。

因此，Q(a,b) 的最小值为 Q(-2, 7/3) = 5(-2)^2 + 6(-2)(7/3) + 3(7/3)^2 - 30(-2) - 20(7/3) + 46 = 2/3。

所以，最小值为 2/3，当 a = -2，b = 7/3 时取得最小值。