线性方程组解的存在性与阶梯形方程组

对于方程组，首先检查的系数全为零，那么方程组对没有任何限制，就可以取任意值，而方程组可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换，可以设.利用初等变换，分别把第 一个方程的倍加到第个方程.于是方程组就变成 其中 这样，解方程组的问题就归结为解方程组 的问题.显然的一个解代入的第一个方程就定出的值，这就得出的一个解；而的解显然都是的解 .这就是说，方程组有解的充分必要条件为方程组有解，而与是同解的，因之，方程组有解的充分必 要条件为方程组有解. 对再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步做下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起 来方便，不妨设所得的方程组为 其中方程组中的这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响的解.而且与是 同解的. 现在考虑的解的情况. 如中有方程.这时不管，...，取什么值都不能使它称为等式.故无解，因而无解. 换一种说法内容：，如果在初等变换的过程中，得到一个矛盾的方程（如0=1），那么原方程组无解。因为不存在任何一个数可以同时满足这个矛盾式和其他程式。所以，我们可以利用初等变换把方程组化为阶梯形式，然后判断是否存在矛盾式来确定方程组是否有解。如果不存在矛盾式，那么方程组有解，且解的个数可以通过阶梯形式的系数矩阵来确定。