C语言多元线性回归方程求解与优化：基于Excel文件数据

本文介绍了如何使用C语言编制一个程序，利用'C:\Users\17731\Desktop\附件2：气象数据.xlsx'文件中的数据，进行多元线性回归方程的参数求解与不断优化。由于需要使用C语言读取Excel文件，需要使用第三方库，建议使用libxlsxwriter库。

使用libxlsxwriter库读取Excel文件

以下为使用libxlsxwriter库的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include "xlsxwriter.h"

int main() {
    // 打开Excel文件
    lxw_workbook *workbook = workbook_new("example.xlsx");

    // 创建工作表
    lxw_worksheet *worksheet = workbook_add_worksheet(workbook, "Sheet1");

    // 写入数据
    worksheet_write_string(worksheet, 0, 0, "Hello", NULL);
    worksheet_write_number(worksheet, 0, 1, 12345, NULL);

    // 关闭Excel文件
    workbook_close(workbook);

    return 0;
}

使用以上代码，可以在当前目录下生成一个名为example.xlsx的Excel文件，并在第一个工作表中写入了'Hello'和12345两个数据。

多元线性回归方程的参数求解

接下来是多元线性回归方程的参数求解，这里使用最小二乘法来求解。假设有m个自变量和n个样本数据，自变量的数据可以表示为一个m行n列的矩阵X，因变量的数据可以表示为一个1行n列的矩阵Y。则多元线性回归方程可以表示为：

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bm*Xm

其中b0, b1, b2, ..., bm为回归系数。为了求解这些回归系数，需要将方程转化为矩阵形式：

Y = X * B

其中B为一个m+1行1列的矩阵，第一行为b0，后面m行为b1, b2, ..., bm。由于Y和X已知，因此可以通过最小二乘法求解B：

B = (X' * X)^(-1) * X' * Y

其中X'为X的转置矩阵，^(-1)表示矩阵的逆。

以下为使用最小二乘法求解多元线性回归方程的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int main() {
    // 读取数据
    double X[3][5] = {{1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6, 7}};
    double Y[5] = {10, 11, 12, 13, 14};

    // 计算X' * X
    double XTX[4][4] = {0}; // 初始化为0
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            for (int k = 0; k < 5; k++) {
                XTX[i][j] += X[i][k] * X[j][k];
            }
        }
    }

    // 计算(X' * X)^(-1)
    double XTX_inv[4][4] = {0}; // 初始化为0
    double det = 0;
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            int ii = (i + 1) % 3;
            int jj = (j + 1) % 3;
            double a = XTX[ii][jj];
            double b = XTX[ii][(jj + 1) % 3];
            double c = XTX[ii][(jj + 2) % 3];
            double d = XTX[(i + 2) % 3][j];
            double e = XTX[(i + 1) % 3][j];
            double f = XTX[i][(j + 1) % 3];
            det = a * (d * f - e * e) - b * (c * f - b * e) + c * (c * e - b * d);
            XTX_inv[j][i] = ((jj + ii) % 2 == 0 ? 1 : -1) * (d * f - e * e) / det;
        }
    }

    // 计算(X' * X)^(-1) * X'
    double XTX_inv_XT[4][5] = {0}; // 初始化为0
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 5; j++) {
            for (int k = 0; k < 3; k++) {
                XTX_inv_XT[i][j] += XTX_inv[i][k] * X[k][j];
            }
        }
    }

    // 计算(X' * X)^(-1) * X' * Y
    double B[4] = {0}; // 初始化为0
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 5; j++) {
            B[i] += XTX_inv_XT[i][j] * Y[j];
        }
    }

    // 输出结果
    printf("b0 = %f\n", B[0]);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        printf("b%d = %f\n", i + 1, B[i + 1]);
    }

    return 0;
}

使用以上代码，可以求解出多元线性回归方程的回归系数。需要注意的是，这里只是一个简单的示例，实际使用时需要根据具体的数据进行调整。

使用梯度下降法进行优化

最后是不断优化。这里可以使用梯度下降法来进行优化。梯度下降法的基本思想是沿着函数的负梯度方向不断迭代，直到达到最小值。对于多元线性回归方程来说，可以将其转化为一个损失函数：

L = 1/2n * sum((Y - X * B)^2)

其中n为样本数量，Y和X为已知的矩阵，B为需要求解的回归系数。梯度下降法的迭代公式为：

B = B - alpha * (1/n * X * (X * B - Y))'

其中alpha为学习率，通常取一个较小的值，如0.01。

以下为使用梯度下降法进行优化的代码示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

double loss(double X[][5], double Y[], double B[]) {
    double L = 0;
    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        double Y_pred = B[0];
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            Y_pred += B[j + 1] * X[j][i];
        }
        L += pow(Y_pred - Y[i], 2);
    }
    return L / (2 * 5);
}

int main() {
    // 读取数据
    double X[3][5] = {{1, 2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6, 7}};
    double Y[5] = {10, 11, 12, 13, 14};

    // 初始化B
    double B[4] = {0};

    // 使用梯度下降法进行优化
    double alpha = 0.01;
    for (int iter = 0; iter < 1000; iter++) {
        double dL[4] = {0}; // 初始化为0
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            double Y_pred = B[0];
            for (int j = 0; j < 3; j++) {
                Y_pred += B[j + 1] * X[j][i];
            }
            double err = Y_pred - Y[i];
            dL[0] += err;
            for (int j = 0; j < 3; j++) {
                dL[j + 1] += err * X[j][i];
            }
        }
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            B[i] -= alpha * dL[i] / 5;
        }
        printf("iter = %d, loss = %f\n", iter, loss(X, Y, B));
    }

    // 输出结果
    printf("b0 = %f\n", B[0]);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        printf("b%d = %f\n", i + 1, B[i + 1]);
    }

    return 0;
}

使用以上代码，可以得到经过优化后的回归系数。需要注意的是，这里只是一个简单的示例，实际使用时需要根据具体的数据进行调整。