证明：当 (sn) 为递增正数序列时，(On) 也是递增序列

首先，我们可以将 On 表示为 On=(1/n)(S1+S2+...+Sn)=(1/n)(On-1*n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1)，其中 On-1 表示前 n-1 项的均值。

因为 (sn) 是递增序列，所以对于任意的 i≥2，有 Si≥Si-1。因此，对于任意的 i≥2，有 Si-Si-1≥0。因此，对于任意的 i≥2，有：

On-1n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1≥On-1n

将其代入 On 的定义式中，得到：

On=(1/n)(On-1n+(Sn-Sn-1)+(Sn-1-Sn-2)+...+(S2-S1)+S1)≥(1/n)On-1n=On-1

因此，On 是一个递增序列。证毕。