实二次型标准形化及曲面识别：以f(x,y,z)=2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz-8yz为例

首先，写出二次型的矩阵表示： $$ \boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \ 2 & 5 & -4 \ -2 & -4 & 5
\end{pmatrix}
$$ 然后，通过正交对角化，将其化为标准形： $$ \begin{aligned}
\boldsymbol{A} &= \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{D}\boldsymbol{P} \ &= \frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 \ 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
8 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \ -2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$ 因此，坐标变换公式为： $$ \begin{pmatrix}
x \ y \ z
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 \ 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \ y' \ z'
\end{pmatrix}
$$ 其中，(x',y',z')为新坐标系下的坐标。

当f(x,y,z)=1时，表示一个椭球面，因为标准形中有三个正的特征值，且一个为1，其余两个为\frac{8}{3}和3，因此可以写出其方程： $$ \frac{(x')^2}{\frac{3}{8}}+\frac{(y')^2}{1}+\frac{(z')^2}{3}=1
$$