实二次型标准形化及椭球面解析 - 用正交变换将 f(x,y,z)=2x^2+5y^2+5z^2+4xy-4xz-8yz 化为标准形

首先，写出二次型的矩阵：

$$\ A=\begin{pmatrix}\ 2 & 2 & -2 \ 2 & 5 & -4 \ -2 & -4 & 5\ \end{pmatrix}\ $$

然后，对矩阵进行正交对角化：

$$\ A=PDP^{-1}\ $$

其中，$P$是正交矩阵，$D$是对角矩阵。通过计算，可以得到：

$$\ P=\begin{pmatrix}\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \ \frac{1}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{3}} \ -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\ \end{pmatrix},\ D=\begin{pmatrix}\ 1 & 0 & 0 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 8\ \end{pmatrix}\ $$

因此，二次型的标准形为：

$$\ f(x,y,z)=x^2+3y^2+8z^2\ $$

相应的坐标变换公式为：

$$\ \begin{pmatrix}\ x \ y \ z\ \end{pmatrix}\ =P\ \begin{pmatrix}\ x' \ y' \ z'\ \end{pmatrix}\ $$

其中，$(x',y',z')$是新坐标系下的坐标，$(x,y,z)$是原坐标系下的坐标。

当$f(x,y,z)=1$时，表示一个椭球面，中心在原点，长轴、短轴长度分别为$\frac{1}{\sqrt{1}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{8}}$。