NOIP2001 普及组 - 数的计算：动态规划解法及代码实现

题目描述

给出自然数 n，要求按如下方式构造数列：

1. 只有一个数字 n 的数列是一个合法的数列。
2. 在一个合法的数列的末尾加入一个自然数，但是这个自然数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 a, b 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 i ≤ |a|, 使得 a_i ≠ b_i。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

6

提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

• 6
• 6, 1
• 6, 2
• 6, 3
• 6, 2, 1
• 6, 3, 1

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1 ≤ n ≤ 10³。

动态规划解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。定义 dp[i][j] 表示以 j 结尾，长度为 i 的合法数列的个数。

根据题目规则，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = Σ dp[i - 1][k]，其中 k 是所有满足 k ≤ j / 2 的自然数。

初始状态为 dp[1][n] = 1，即只有一个数 n 的数列。

最后，我们只需要求出所有 dp[n][j] 的和，即为最终答案。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    int dp[1001][1001] = {0};
    dp[1][n] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            for (int k = 1; k <= j / 2; k++) {
                dp[i][j] += dp[i - 1][k];
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        ans += dp[n][j];
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

本文介绍了 NOIP2001 普及组“数的计算”问题的动态规划解法，并给出了代码实现。该方法简单易懂，且代码实现较为简洁。希望本文能够帮助读者更好地理解和解决这类问题。