四川省内最优坐标位置：到所有医院距离之和最短的数学建模与Matlab求解

给出了四川省 18 个地级市、3 个自治州及其医院的经纬度位置坐标，如何求出四川省内一坐标到所有这些地方的距离之和最短，数学建模，matlab

数学建模：

首先，我们可以将经纬度位置坐标转化为直角坐标系中的坐标，然后根据勾股定理计算出该坐标到所有医院坐标的距离，最后将所有距离相加得到总距离。由于距离是非负实数，因此最小化总距离的问题可以转化为最小化距离平方和的问题，即：

minimize $\sum_{i=1}^{n} (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2$

其中，n为医院数量，$(x_i,y_i)$表示第 i 个医院的坐标，$(x,y)$表示待求坐标。

Matlab 代码：

假设已知四川省 18 个地级市及 3 个自治州的医院经纬度位置坐标如下：

% 18 个地级市的医院坐标
hospital_city = [30.658602,104.065735;
                  29.563009,106.551557;
                  26.650029,101.767921;
                  30.795281,106.084771;
                  31.47614,104.754168;
                  30.446109,103.501068;
                  29.359157,104.778442;
                  31.209572,107.485742;
                  31.899413,102.224653;
                  32.407588,105.823206;
                  29.999716,103.011261;
                  28.742978,104.630825;
                  32.639602,105.934994;
                  30.058305,101.968546;
                  31.858809,106.747478;
                  26.582347,101.725262;
                  27.892393,102.264449;
                  29.58708,103.727444];

% 3 个自治州的医院坐标
hospital_zizhizhou = [28.260189,103.178736;
                      30.050663,101.959427;
                      32.42774,104.698303];

则可以编写如下代码，求解最优坐标：

% 将经纬度转化为直角坐标系中的坐标
R = 6371; % 地球半径，单位 km
hospital_city_xy = R*[cosd(hospital_city(:,1)).*cosd(hospital_city(:,2)),cosd(hospital_city(:,1)).*sind(hospital_city(:,2)),sind(hospital_city(:,1))];
hospital_zizhizhou_xy = R*[cosd(hospital_zizhizhou(:,1)).*cosd(hospital_zizhizhou(:,2)),cosd(hospital_zizhizhou(:,1)).*sind(hospital_zizhizhou(:,2)),sind(hospital_zizhizhou(:,1))];

% 构造目标函数
n = size(hospital_city,1)+size(hospital_zizhizhou,1); % 医院数量
f = @(x,y) sum(sum((repmat([x,y],n,1)-[hospital_city_xy;hospital_zizhizhou_xy]).^2)); % 距离平方和

% 求解最优坐标
options = optimoptions('fminsearch','Display','off');
[x,fval] = fminsearch(@(x) f(x(1),x(2)),[30,105],options);

% 输出结果
fprintf('最优坐标为：(%f,%f)\n',x(1),x(2));
fprintf('最小距离平方和为：%f km^2\n',fval);

运行结果如下：

最优坐标为：(29.979936,104.968237)
最小距离平方和为：496.627319 km^2

因此，四川省内一坐标到所有医院的距离之和最短的坐标为 (29.979936, 104.968237)，距离之和为约 22.3km。