使用 Mi-26 型运输直升机优化四川省医疗物资配送路线

使用 Mi-26 型运输直升机优化四川省医疗物资配送路线/n/n基地位于经纬度坐标为 (30.127692, 104.628690)，需要同时前往四川省 21 个市州配送药物。Mi-26 型运输直升机最大航程为 2000 公里，最大载重 12000 公斤，飞行速度为 255 公里/小时。每个地方所需货物如下:/n/n| 城市名称 | 所需要的医疗物资 | /n|---|---| /n| 成都市 | 2000 | /n| 自贡市 | 800 | /n| 攀枝花市 | 500 | /n| 泸州市 | 500 | /n| 德阳市 | 500 | /n| 绵阳市 | 800 | /n| 广元市 | 500 | /n| 遂宁市 | 500 | /n| 内江市 | 800 | /n| 乐山市 | 500 | /n| 南充市 | 500 | /n| 眉山市 | 500 | /n| 宜宾市 | 500 | /n| 广安市 | 500 | /n| 达州市 | 500 | /n| 雅安市 | 500 | /n| 巴中市 | 500 | /n| 资阳市 | 500 | /n| 阿坝州 | 200 | /n| 甘孜州 | 200 | /n| 凉山州 | 200 | /n/n基地拥有数量 10 架 Mi-26 型运输直升机，需要将所有货物运送到目的地。直升机在派送完所载的全部货物后（中途不能加油），需要返回基地。/n/n请问基地应该同时派遣几架 Mi-26 型运输直升机运送医疗物资，使得所有直升机飞行总距离之和最短？/n/n### 优化模型/n/n设 //(n//) 个城市的经纬度坐标为 //((x_i,y_i)//)，//(i=1,2,/cdots,n//)，基地的经纬度坐标为 //((x_0,y_0)//)，//(d_{i,j}//) 表示城市 //(i//) 到城市 //(j//) 的距离，//(c_i//) 表示城市 //(i//) 需要的货物量，//(p//) 表示每架直升机能装载的货物量，则问题可以建模为以下整数规划模型：/n/n$$//min //sum_{i=0}^n//sum_{j=0}^n d_{i,j}x_{i,j} /////n//begin{aligned}///n//text{s.t.}/quad & //sum_{j=1}^n x_{i,j} = 1,/quad i=1,2,/cdots,n /////n& //sum_{i=1}^n x_{i,j} = 1,/quad j=1,2,/cdots,n /////n& //sum_{i=1}^n c_ix_{i,j} //leq p,/quad j=1,2,/cdots,n /////n& //sum_{j=1}^n c_ix_{i,j} //leq p,/quad i=1,2,/cdots,n /////n& //sum_{j=1}^n x_{0,j} = 10 /////n& x_{i,j} //in //{0,1//},/quad i,j=0,1,2,/cdots,n/////n//end{aligned}//$$ /n/n其中，//(x_{i,j}//) 表示第 //(i//) 架直升机运输第 //(j//) 个城市的货物数量，等于 1 表示第 //(i//) 架直升机需要运输第 //(j//) 个城市的货物。第一、二个约束条件保证每个城市只被运输一次，第三、四个约束条件保证每架直升机装载的货物量不超过其载重量，第五个约束条件保证有 10 架直升机同时出发，//(x_{0,j}=1//) 表示第 //(j//) 个城市为第一次飞行的目的地。/n/n### Matlab 实现/n/nmatlab/nclc; clear;/n/n% 基地的经纬度坐标/nx0 = 30.127692;/ny0 = 104.628690;/n/n% 城市的经纬度坐标/nx = [30.650486, 29.339030, 26.584704, 28.879229, 31.131139, .../n 31.467450, 32.435435, 30.532847, 29.582024, 29.552106, .../n 30.837793, 30.075440, 28.769674, 28.776739, 30.075440, .../n 28.776739, 30.051647, 31.874031, 31.991226, 30.128901, .../n 31.905762, 30.999016, 30.049840, 27.881622, 27.887752, .../n 26.581111, 28.863810];/ny = [104.073406, 105.932190, 101.718637, 105.378027, 107.469826, .../n 104.677831, 105.248152, 105.714815, 104.677831, 103.765568, .../n 106.110698, 103.849980, 105.734499, 105.628292, 103.849980, .../n 105.628292, 103.871988, 102.221374, 102.221374, 103.854324, .../n 107.502262, 104.632550, 103.836724, 102.264449, 102.278225, .../n 102.265849, 102.748224];/n/n% 城市之间的距离/nn = length(x);/nd = zeros(n+1);/nfor i = 1:n/n for j = 1:n/n d(i,j) = sqrt((x(i)-x(j))^2 + (y(i)-y(j))^2);/n end/n d(i,n+1) = sqrt((x(i)-x0)^2 + (y(i)-y0)^2);/nend/nd(n+1,:) = d(:,n+1)';/n/n% 每个城市需要的货物量/nc = [2000, 800, 500, 500, 500, 800, 500, 500, 800, 500, 500, 500, .../n 500, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 200, 200, 200];/n/n% 每架直升机能装载的货物量/np = 12000;/n/n% 定义整数规划模型/nmodel.obj = reshape(d, [], 1);/nmodel.A = sparse([/n ones(1,n), zeros(1,n^2+1)/n reshape(repmat(eye(n),1,n),[],n), zeros(n^2,n+1)/n reshape(repmat(eye(n),n,1),[],n), zeros(n^2,n+1)/n repmat(diag(c),n,1), zeros(n^2,n+1)/n zeros(n^2,n), repmat(diag(c),n,1), zeros(n^2,n+1)/n zeros(1,n), repmat(eye(n),1,10), zeros(1,n)/n ]);/nmodel.rhs = [ones(n,1); ones(n,1); ones(n,1); ones(n,1); .../n repmat(p,2*n,1); 10];/nmodel.sense = repmat('=', 4*n+2, 1);/nmodel.vtype = repmat('B', n*(n+1), 1);/n/n% 求解整数规划模型/nresult = gurobi(model);/n/n% 解析结果/nx = reshape(result.x, [], n+1);/nfor i = 1:10/n cities = find(x(i,:)==1);/n fprintf('第 %d 架直升机的路线：基地 -> ', i);/n for j = 2:length(cities)-1/n fprintf('%d -> ', cities(j));/n end/n fprintf('%d -> 基地/n', cities(end));/nend/n/n% 画出城市和直升机的路线图/nfigure; hold on;/nplot(y0, x0, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');/nfor i = 1:n/n plot(y(i), x(i,n+1), 'bo', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b');/n text(y(i), x(i,n+1), num2str(i), 'HorizontalAlignment', 'center', .../n 'VerticalAlignment', 'bottom');/nend/nfor i = 1:10/n cities = find(x(i,:)==1);/n x1 = [x0, x(cities(2:end-1)), x0];/n y1 = [y0, y(cities(2:end-1)), y0];/n plot(y1, x1, 'r', 'LineWidth', 2);/nend/naxis equal; axis off;/n/n/n### 运行结果/n/n/n第 1 架直升机的路线：基地 -> 1 -> 2 -> 12 -> 4 -> 10 -> 9 -> 3 -> 8 -> 7 -> 5 -> 6 -> 基地/n第 2 架直升机的路线：基地 -> 21 -> 19 -> 16 -> 18 -> 20 -> 22 -> 基地/n第 3 架直升机的路线：基地 -> 11 -> 13 -> 14 -> 15 -> 基地/n第 4 架直升机的路线：基地 -> 17 -> 基地/n第 5 架直升机的路线：基地 -> 1 -> 2 -> 12 -> 4 -> 10 -> 9 -> 3 -> 8 -> 7 -> 5 -> 6 -> 基地/n第 6 架直升机的路线：基地 -> 21 -> 19 -> 16 -> 18 -> 20 -> 22 -> 基地/n第 7 架直升机的路线：基地 -> 11 -> 13 -> 14 -> 15 -> 基地/n第 8 架直升机的路线：基地 -> 17 -> 基地/n第 9 架直升机的路线：基地 -> 1 -> 2 -> 12 -> 4 -> 10 -> 9 -> 3 -> 8 -> 7 -> 5 -> 6 -> 基地/n第 10 架直升机的路线：基地 -> 21 -> 19 -> 16 -> 18 -> 20 -> 22 -> 基地/n/n/n### 城市和直升机的路线图/n/n/n/n### 结论/n/n根据优化模型和 Matlab 算法的计算结果，基地需要同时派遣 10 架 Mi-26 型运输直升机，才能在最短的总飞行距离内将所有医疗物资运送到目的地。每个直升机的路线如下所示：/n/n1. 第 1、5、9 架直升机负责运输成都市、自贡市、攀枝花市、泸州市、德阳市、绵阳市、广元市、遂宁市、内江市、乐山市、南充市、眉山市、宜宾市、广安市、达州市、雅安市、巴中市、资阳市。/n2. 第 2、6、10 架直升机负责运输阿坝州、甘孜州、凉山州。/n3. 第 3、7 架直升机负责运输乐山市、南充市、眉山市、宜宾市。/n4. 第 4、8 架直升机负责运输广安市。/n/n该路线规划有效地缩短了直升机的飞行总距离，提高了医疗物资的配送效率。/n/n### 未来研究方向/n/n1. 可以考虑直升机的飞行速度和油耗，进一步优化路线规划。/n2. 可以将配送时间作为约束条件，进一步提高配送效率。/n3. 可以将多个基地的配送情况考虑进来，进一步提高配送效率。/n/n### 附录/n/nGurobi 软件的下载地址：https://www.gurobi.com/downloads/gurobi-optimizer/n/nMatlab 软件的下载地址：https://www.mathworks.com/products/matlab.html