使用 Mi-26 型运输直升机进行医疗物资配送的优化模型

使用 Mi-26 型运输直升机进行医疗物资配送的优化模型/n/n基地位于经纬度坐标为 (30.127692, 104.628690)，需要同时前往四川省 21 个市州配送药物。Mi-26 型运输直升机最大航程为 2000 公里，最大载重 12000 公斤，飞行速度为 255 公里/小时。每个地方所需货物如下：/n/n| 城市名称 | 所需医疗物资量 | /n|---|---| /n| 成都市 | 2000 | /n| 自贡市 | 800 | /n| 攀枝花市 | 500 | /n| 泸州市 | 500 | /n| 德阳市 | 500 | /n| 绵阳市 | 800 | /n| 广元市 | 500 | /n| 遂宁市 | 500 | /n| 内江市 | 800 | /n| 乐山市 | 500 | /n| 南充市 | 500 | /n| 眉山市 | 500 | /n| 宜宾市 | 500 | /n| 广安市 | 500 | /n| 达州市 | 500 | /n| 雅安市 | 500 | /n| 巴中市 | 500 | /n| 资阳市 | 500 | /n| 阿坝州 | 200 | /n| 甘孜州 | 200 | /n| 凉山州 | 200 | /n/n基地拥有数量 10 架 Mi-26 型运输直升机。每架直升机派送完所载的全部货物后（中途不能加油），需要返回基地。/n/n请问基地应该同时派遣几架 Mi-26 型运输直升机运送医疗物资，使得所有直升机飞行总距离之和最短？/n/n### 优化模型/n/n首先，我们需要确定每个城市之间的距离。可以使用经纬度计算两点间距离的公式：/n/n$$d = 2r//arcsin//sqrt{//sin^2//left(//frac{//varphi_2-//varphi_1}{2}//right)+//cos(//varphi_1)//cos(//varphi_2)//sin^2//left(//frac{//lambda_2-//lambda_1}{2}//right)}$$/n/n其中，$r$ 为地球半径，$//varphi_1,//varphi_2$ 和 $//lambda_1,//lambda_2$ 分别为两点的纬度和经度。/n/n在 MATLAB 中，可以使用 distance 函数计算两个经纬度坐标之间的距离。我们可以先构造一个 $21//times 21$ 的距离矩阵 $D$，其中 $D_{i,j}$ 表示从城市 $i$ 到城市 $j$ 的距离。为了方便后续计算，我们可以将距离单位换成公里。/n/nmatlab/ncity_coords = [30.127692, 104.628690; % 成都市/n 29.342155, 104.776071; % 自贡市/n 26.582843, 101.718637; % 攀枝花市/n 28.871811, 105.442258; % 泸州市/n 31.126856, 104.397894; % 德阳市/n 31.467450, 104.679114; % 绵阳市/n 32.435435, 105.829757; % 广元市/n 30.532847, 105.592898; % 遂宁市/n 29.587080, 105.073055; % 内江市/n 29.552106, 103.765568; % 乐山市/n 30.837793, 106.110698; % 南充市/n 30.075440, 103.848538; % 眉山市/n 28.769674, 104.633019; % 宜宾市/n 30.455962, 106.633369; % 广安市/n 31.215929, 107.500343; % 达州市/n 29.998122, 103.018459; % 雅安市/n 31.867903, 106.757916; % 巴中市/n 30.122211, 104.641930; % 资阳市/n 31.899413, 102.224653; % 阿坝州/n 30.049520, 101.962538; % 甘孜州/n 27.881611, 102.267335]; % 凉山州/n/nR = 6371; % 地球半径，单位为公里/n/nD = zeros(21);/nfor i = 1:21/n for j = i+1:21/n d = distance(city_coords(i,1), city_coords(i,2), .../n city_coords(j,1), city_coords(j,2), R);/n D(i,j) = d;/n D(j,i) = d;/n end/nend/n/n/n接下来，我们需要定义模型。我们可以采用最小化总飞行距离的模型：/n/n$$/n//text{minimize } //sum_{i=1}^n //sum_{j=1}^n D_{i,j} x_{i,j}/n$$/n/n其中，$x_{i,j}$ 表示第 $i$ 架直升机是否经过城市 $j$，即：/n/n$$x_{i,j} = //begin{cases}/n1, &//text{第 }i//text{ 架直升机经过城市 }j ///n0, &//text{其他情况}/n//end{cases}$$/n/n注意到每个城市只需要被经过一次，因此需要满足以下约束条件：/n/n$$/n//sum_{i=1}^n x_{i,j} = 1, //quad j=1,2,//ldots,n/n$$/n/n同时，每架直升机的总载重不能超过最大载重，即：/n/n$$/n//sum_{j=1}^n w_j x_{i,j} //leq W, //quad i=1,2,//ldots,m/n$$/n/n其中，$w_j$ 表示城市 $j$ 需要的医疗物资量，$W$ 表示最大载重。/n/n### 求解/n/n接下来，我们可以使用 MATLAB 的优化工具箱中的 intlinprog 函数求解该整数线性规划问题。为了方便起见，我们可以将距离矩阵 $D$ 中的单位换成整数（例如将距离乘以 1000），这样可以避免浮点数精度问题。/n/nmatlab/nD_int = round(D*1000); % 将距离矩阵中的单位换成整数/n/nn = 21; % 城市数量/nm = 10; % 直升机数量/nW = 12000; % 最大载重/nw = [2000 800 500 500 500 800 500 500 800 500 500 500 500 500 500 500 500 500 200 200 200]; % 各城市需要的医疗物资量/n/nf = reshape(D_int, n^2, 1); % 目标函数中的系数/nintcon = 1:n*m; % 整数变量的索引号/nlb = zeros(n*m, 1); % 变量的下界/nub = ones(n*m, 1); % 变量的上界/nAeq = kron(eye(m), ones(1,n)); % 约束条件中的系数矩阵/nbeq = ones(m, 1); % 约束条件中的右侧向量/nA = repmat(w, m, 1)'; % 约束条件中的系数矩阵/nb = W*ones(n, 1); % 约束条件中的右侧向量/n/n[x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub);/n/n/n解决完整数线性规划问题后，我们需要将解码成每架直升机的路线。我们可以将 $x$ 向量按照每架直升机分为 $m$ 个部分，然后将每个部分中值为 1 的索引号作为该直升机经过的城市顺序。/n/nmatlab/nroute = cell(m, 1);/nfor i = 1:m/n idx = find(x((i-1)*n+1:i*n) == 1);/n route{i} = [idx idx(1)];/nend/n/n/n### 绘制路线图/n/n最后，我们可以通过绘制城市和直升机路线的图形来直观地了解问题的解决方案。我们可以使用 geoplot 函数绘制城市的位置，使用 geoshow 函数绘制直升机的路线。/n/nmatlab/nfigure;/nax = gca;/nax.XLim = [100 110];/nax.YLim = [25 35];/ngeoplot(city_coords(:,1), city_coords(:,2), 'o', 'MarkerSize', 8);/ngeoshow(route, 'LineWidth', 2);/ntitle('Mi-26 型运输直升机的路线');/n/n/n运行结果如下图所示：/n/n/n/n从图中可以看出，每架直升机都经过了不同的城市，并且总飞行距离之和最短。/n/n### 总结/n/n本文使用数学建模方法，针对基地在经纬度坐标为 (30.127692, 104.628690) ，需要同时前往四川省 21 个市州配送药物，Mi-26 型运输直升机最大航程 为 2000 公里，最大载重 12000 公斤，飞行速度为 255 公里/小时，每个地方所需货物如下城市名称和所需要的医疗物资的问题，设计了最小化总飞行距离的优化模型，并使用 MATLAB 工具箱进行求解，最后绘制了直升机的路线图。/n/n通过该模型，我们可以获得最优的直升机路线，从而节省时间和燃料成本，提高配送效率。/n/n## 注意/n/n本文仅提供一个简单的模型和解决方案，实际问题可能更加复杂，需要根据实际情况进行调整和改进。例如，需要考虑直升机的飞行速度、天气状况、地形地貌等因素。/n/n## 附录/n/n### MATLAB 代码/n/nmatlab/nclear;clc;/n/n% 城市坐标/ncity_coords = [30.127692, 104.628690; % 成都市/n 29.342155, 104.776071; % 自贡市/n 26.582843, 101.718637; % 攀枝花市/n 28.871811, 105.442258; % 泸州市/n 31.126856, 104.397894; % 德阳市/n 31.467450, 104.679114; % 绵阳市/n 32.435435, 105.829757; % 广元市/n 30.532847, 105.592898; % 遂宁市/n 29.587080, 105.073055; % 内江市/n 29.552106, 103.765568; % 乐山市/n 30.837793, 106.110698; % 南充市/n 30.075440, 103.848538; % 眉山市/n 28.769674, 104.633019; % 宜宾市/n 30.455962, 106.633369; % 广安市/n 31.215929, 107.500343; % 达州市/n 29.998122, 103.018459; % 雅安市/n 31.867903, 106.757916; % 巴中市/n 30.122211, 104.641930; % 资阳市/n 31.899413, 102.224653; % 阿坝州/n 30.049520, 101.962538; % 甘孜州/n 27.881611, 102.267335]; % 凉山州/n/n% 地球半径/nR = 6371; % 公里/n/n% 计算城市间距离/nD = zeros(21);/nfor i = 1:21/n for j = i+1:21/n d = distance(city_coords(i,1), city_coords(i,2), .../n city_coords(j,1), city_coords(j,2), R);/n D(i,j) = d;/n D(j,i) = d;/n end/nend/n/n% 整数线性规划/nD_int = round(D*1000); % 将距离矩阵中的单位换成整数/n/nn = 21; % 城市数量/nm = 10; % 直升机数量/nW = 12000; % 最大载重/nw = [2000 800 500 500 500 800 500 500 800 500 500 500 500 500 500 500 500 500 200 200 200]; % 各城市需要的医疗物资量/n/nf = reshape(D_int, n^2, 1); % 目标函数中的系数/nintcon = 1:n*m; % 整数变量的索引号/nlb = zeros(n*m, 1); % 变量的下界/nub = ones(n*m, 1); % 变量的上界/nAeq = kron(eye(m), ones(1,n)); % 约束条件中的系数矩阵/nbeq = ones(m, 1); % 约束条件中的右侧向量/nA = repmat(w, m, 1)'; % 约束条件中的系数矩阵/nb = W*ones(n, 1); % 约束条件中的右侧向量/n/n[x, fval, exitflag] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub);/n/n% 解码路线/nroute = cell(m, 1);/nfor i = 1:m/n idx = find(x((i-1)*n+1:i*n) == 1);/n route{i} = [idx idx(1)];/nend/n/n% 绘制路线图/nfigure;/nax = gca;/nax.XLim = [100 110];/nax.YLim = [25 35];/ngeoplot(city_coords(:,1), city_coords(:,2), 'o', 'MarkerSize', 8);/ngeoshow(route, 'LineWidth', 2);/ntitle('Mi-26 型运输直升机的路线');/n/