无人机定点投放任务的数学模型及距离计算

问题1： （1）建立数学模型：

设无人机以速度'v'，飞行高度'h'在空气中飞行，无人机投放物资后，物资受到重力和空气阻力的作用，其运动方程为：

$$\begin{cases}\frac{d^2x}{dt^2}=-rac{1}{2m}\rho AC_{x}v_{x}^{2}\\frac{d^2y}{dt^2}=-g-rac{1}{2m}\rho AC_{y}v_{y}^{2}\end{cases}$$

其中，'m'为物资的质量，'A'为物资的横截面积，'ρ'为空气密度，'C_{x}'和'C_{y}'分别为物资在水平方向和竖直方向上的阻力系数，'v_{x}'和'v_{y}'分别为物资在水平方向和竖直方向上的速度，'g'为重力加速度。

在无人机投放物资时，物资的纵向速度'v_{y}'为0，因此有：

$$\v_{y}=\frac{dy}{dt}=0$$

将'v_{y}=0'代入上述运动方程，得到：

$$\begin{cases}\frac{d^2x}{dt^2}=-rac{1}{2m}\rho AC_{x}v^{2}\\frac{dy}{dt}=0\end{cases}$$

解得：

$$\begin{cases}\x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2mgh}{\rho A C_{x}}}v\\t=\frac{\sqrt{\frac{2m}{\rho A C_{x}g}}}{2}v\end{cases}$$

其中，'g'为重力加速度，'h'为无人机飞行高度。

根据勾股定理，无人机到物资指定落地点的直线距离为：

$$\D=\sqrt{x^{2}+h^{2}}$$

将'x'代入上式，即可得到无人机投放距离与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。

（2）建立数学模型：

设无人机飞行方向与风向夹角为'θ'，风速为'v_{w}'，则无人机在水平方向上的速度为：

$$\v_{x}=v\cos\theta-v_{w}$$

在竖直方向上的速度为：

$$\v_{y}=-gt$$

将'v_{x}'和'v_{y}'代入上述运动方程，可得到：

$$\begin{cases}\frac{d^2x}{dt^2}=-rac{1}{2m}\rho AC_{x}(v\cos\theta-v_{w})^{2}\\frac{d^2y}{dt^2}=-g-rac{1}{2m}\rho AC_{y}(-gt)^{2}\end{cases}$$

在无人机投放物资时，物资的纵向速度'v_{y}'为0，因此有：

$$\v_{y}=-gt=0$$

解得：

$$\t=0$$

即物资在竖直方向上的运动时间为0，物资在竖直方向上的运动距离为0，只考虑物资在水平方向上的运动。

当无人机飞行方向与风向相同（夹角为0度）时，'θ=0'，则有：

$$\v_{x}=v-v_{w}$$

将'v_{x}'代入之前得到的'x'的公式中，可得到无人机投放距离。

当无人机飞行方向与风向相反（夹角为180度）时，'θ=180^{\circ}'，则有：

$$\v_{x}=v+v_{w}$$

同样地，将'v_{x}'代入之前得到的'x'的公式中，可得到无人机投放距离。

当无人机飞行方向与风向垂直（夹角为90度）时，'θ=90^{\circ}'，则有：

$$\v_{x}=v\cos90^{\circ}-v_{w}=-v_{w}$$

同样地，将'v_{x}'代入之前得到的'x'的公式中，可得到无人机投放距离。