抛物线经过三点的性质探究：面积最大值和相似三角形

解析：

(1) 设抛物线的解析式为'y = ax^2 + bx + c'，由题意可列出三个方程：

$$ \begin{cases} a(-4)^2+b(-4)+c=0
a(-1)^2+b(-1)+c=0
a(0)^2+b(0)+c=2 \end{cases} $$

解得'a = 1'，'b = 0'，'c = 0'，即抛物线的解析式为'y = x^2'。

(2) 设点D的坐标为'(x, x^2)'，则'overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix}0 - x \ 2 - x^2 \end{pmatrix}'，'overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}-4 \ -2 \end{pmatrix}'。

由向量叉积的几何意义可知，'△DCA'的面积为：

$$ \begin{aligned} S_{△DCA} &= \frac{1}{2}\left|overrightarrow{DC} × overrightarrow{CA}\right|
&= \frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}0 - x \ 2 - x^2 \end{pmatrix} × \begin{pmatrix}-4 \ -2 \end{pmatrix}\right|
&= \frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}2 - x^2 \ -4x \end{pmatrix}\right|
&= \frac{1}{2}\sqrt{(2 - x^2)^2 + (-4x)^2}
&= \frac{1}{2}\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 4} \end{aligned} $$

注意到'x'的取值范围为'-4 ≤ x ≤ 0'，所以'S_{△DCA}'是'x'的函数，可以对其求导数：

$$ S'_{△DCA} = \frac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 4} = \frac{16x^3 - 4x}{2\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 4}} = \frac{8x^3 - 2x}{\sqrt{16x^4 - 8x^2 + 4}} $$

令'S'{△DCA} = 0'，解得'x = \frac{1}{2}'。此时'S{△DCA} = \frac{1}{2}\sqrt{2}'，所以点D的坐标为'(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})'，'△DCA'的面积的最大值为'\frac{1}{2}\sqrt{2}'。

(3) 设点P的坐标为'(x, x^2)'，则'overrightarrow{PA} = \begin{pmatrix}-4 - x \ -x^2 \end{pmatrix}'，'overrightarrow{PM} = \begin{pmatrix}x \ -x^2 \end{pmatrix}'。

由向量叉积的几何意义可知，'△PAM'的面积为：

$$ \begin{aligned} S_{△PAM} &= \frac{1}{2}\left|overrightarrow{PA} × overrightarrow{PM}\right|
&= \frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}-4 - x \ -x^2 \end{pmatrix} × \begin{pmatrix}x \ -x^2 \end{pmatrix}\right|
&= \frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}x^3 \ 4x + x^2 \end{pmatrix}\right|
&= \frac{1}{2}\sqrt{x^6 + (4x + x^2)^2}
&= \frac{1}{2}\sqrt{17x^4 + 8x^3 + 16x^2} \end{aligned} $$

注意到'x'的取值范围为'-4 ≤ x ≤ 0'，所以'S_{△PAM}'是'x'的函数，可以对其求导数：

$$ S'_{△PAM} = \frac{1}{2}\dfrac{d}{dx}\sqrt{17x^4 + 8x^3 + 16x^2} = \frac{68x^3 + 24x^2 + 32x}{4\sqrt{17x^4 + 8x^3 + 16x^2}} = \frac{17x^3 + 6x^2 + 8x}{\sqrt{17x^4 + 8x^3 + 16x^2}} $$

注意到'△PAM'与'△OAC'相似的条件是' \frac{PA}{OA} = \frac{PM}{OC}'，即' \frac{-4 - x}{\sqrt{16 + x^2}} \approx \frac{x}{2}'。

解得'x \approx -0.166'或'x \approx -2.313'，但由于'x'的取值范围为'-4 ≤ x ≤ 0'，所以不存在符合条件的点P。

因此，不存在符合条件的点P。