三重积分计算：由抛物柱面和平面围成的区域

首先我们画出积分区域的示意图：

可以看出，积分区域可以分为三个部分：底部的矩形区域、中间的三角形区域和顶部的抛物柱面区域。

对于底部的矩形区域，我们有：

$$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{y}\int_{0}^{0}xzdxdydz=0 $$

对于中间的三角形区域，我们有：

$$ \int_{0}^{1}\int_{y}^{1}\int_{0}^{y}xzdxdydz=\int_{0}^{1}\int_{y}^{1}\frac{y^3}{2}dzdy=\int_{0}^{1}\frac{y^5}{4}dy=\frac{1}{20} $$

对于顶部的抛物柱面区域，我们有：

$$ \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{1}\int_{0}^{y}xzdxdydz=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{1}\frac{xy^3}{2}dzdy=\int_{0}^{1}\frac{x}{8}(1-x^6)dx=\frac{7}{256} $$

因此，整个积分结果为：

$$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xzdxdydz=\frac{1}{20}+\frac{7}{256}=\frac{71}{1280} $$

因此，原问题的答案为 $\frac{71}{1280}$。