简易观测方程与误差方程：三角形内角测量平差

(1) 误差方程式为：/n/n$$//begin{cases}//delta L_1 = -/frac{1}{2}(A+/omega_1)+/frac{1}{2}(B+/omega_2) //// //delta L_2 = /frac{//sqrt{3}}{2}(A+/omega_1)+/frac{//sqrt{3}}{2}(B+/omega_2)-C //end{cases}$$/n/n其中，$//delta L_1$和$//delta L_2$分别为$L_1$和$L_2$的测量误差，$A$、$B$、$C$为三角形ABC的内角，$//omega_1$和$//omega_2$为$L_1$和$L_2$的常数误差。/n/n(2) 观测值权阵为：/n/n$$//mathbf{P}//text{obs} = //begin{bmatrix}//frac{1}{//sigma_1^2} & 0 ////// 0 & //frac{1}{//sigma_2^2} //end{bmatrix}$$/n/n其中，$//sigma_1$和$//sigma_2$为$L_1$和$L_2$的标准差。/n/n(3) 平差计算如下：/n/n将误差方程式改写为向量形式：/n/n$$//boldsymbol{//delta L} = //begin{bmatrix}//-/frac{1}{2}(A+/omega_1)+/frac{1}{2}(B+/omega_2) ////// //frac{//sqrt{3}}{2}(A+/omega_1)+/frac{//sqrt{3}}{2}(B+/omega_2)-C //end{bmatrix}$$/n/n则求解未知数的最小二乘解为：/n/n$$//begin{aligned}//begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}//text{adj} &= //begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}//text{obs} - //mathbf{B}^T(//mathbf{P}//text{obs}+//mathbf{B}//mathbf{P}0//mathbf{B}^T)^{-1}(//mathbf{B}//begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}//text{obs}-//boldsymbol{//delta L}) ////// &= //begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}//text{obs} - //begin{bmatrix}0.5 & 0.5//sqrt{3} ////// -0.5 & 0.5//sqrt{3} //end{bmatrix}^T //begin{bmatrix}//frac{1}{//sigma_1^2} & 0 ////// 0 & //frac{1}{//sigma_2^2} //end{bmatrix}^{-1} //left(//begin{bmatrix}//-/frac{1}{2}(A+/omega_1)+/frac{1}{2}(B+/omega_2) ////// //frac{//sqrt{3}}{2}(A+/omega_1)+/frac{//sqrt{3}}{2}(B+/omega_2)-C //end{bmatrix} - //begin{bmatrix}//-0.5 & 0.5//sqrt{3} ////// 0.5 & 0.5//sqrt{3} //end{bmatrix} //begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}//text{obs}//right) ////// &= //begin{bmatrix}//L_1 ////// L_2 //end{bmatrix}_//text{obs} - //begin{bmatrix}0.5 & -0.5 ////// 0.5//sqrt{3} & 0.5//sqrt{3} //end{bmatrix} //begin{bmatrix}//frac{1}{//sigma_1^2} & 0 ////// 0 & //frac{1}{//sigma_2^2} //end{bmatrix}^{-1} //begin{bmatrix}//-/frac{1}{2}(A+/omega_1)+/frac{1}{2}(B+/omega_2) ////// //frac{//sqrt{3}}{2}(A+/omega_1)+/frac{//sqrt{3}}{2}(B+/omega_2)-C //end{bmatrix} ////// //end{aligned}$$/n/n其中，$//mathbf{B}$为观测方程的系数矩阵，$//mathbf{P}_0$为未知数的先验权阵，取为单位阵。