实变函数：开区间与闭区间对等证明

1: 要证明开区间 (0,1) 与开区间 (a,b) 对等，我们需要构造一个双射函数 f: (0,1) -> (a,b)。

定义函数 f(x) = (b-a)x + a，其中 x ∈ (0,1)。

首先，我们需要证明 f(x) 是从 (0,1) 到 (a,b) 的映射。对于任意的 x ∈ (0,1)，由于 a < b，所以 (b-a)x + a ∈ (a,b)。因此，f(x) 是从 (0,1) 到 (a,b) 的映射。

其次，我们需要证明 f(x) 是双射函数。即证明 f(x) 是一一映射和满射。

(1) 一一映射：假设 f(x₁) = f(x₂)，其中 x₁, x₂ ∈ (0,1)。则有 (b-a)x₁ + a = (b-a)x₂ + a。经过简化得到 x₁ = x₂。因此，f(x) 是一一映射。

(2) 满射：对于任意的 y ∈ (a,b)，我们需要找到一个 x ∈ (0,1)，使得 f(x) = y。令 x = (y-a)/(b-a)，则有 f(x) = (b-a)x + a = (b-a)(y-a)/(b-a) + a = y。因此，f(x) 是满射。

综上所述，我们构造的函数 f(x) = (b-a)x + a 是从开区间 (0,1) 到开区间 (a,b) 的双射函数，因此开区间 (0,1) 与开区间 (a,b) 对等。

2: 要证明闭区间 [0,1] 与闭区间 [a,b] 对等，我们需要构造一个双射函数 f: [0,1] -> [a,b]。

定义函数 f(x) = (b-a)x + a，其中 x ∈ [0,1]。

首先，我们需要证明 f(x) 是从 [0,1] 到 [a,b] 的映射。对于任意的 x ∈ [0,1]，由于 a < b，所以 (b-a)x + a ∈ [a,b]。因此，f(x) 是从 [0,1] 到 [a,b] 的映射。

其次，我们需要证明 f(x) 是双射函数。即证明 f(x) 是一一映射和满射。

(1) 一一映射：假设 f(x₁) = f(x₂)，其中 x₁, x₂ ∈ [0,1]。则有 (b-a)x₁ + a = (b-a)x₂ + a。经过简化得到 x₁ = x₂。因此，f(x) 是一一映射。

(2) 满射：对于任意的 y ∈ [a,b]，我们需要找到一个 x ∈ [0,1]，使得 f(x) = y。令 x = (y-a)/(b-a)，则有 f(x) = (b-a)x + a = (b-a)(y-a)/(b-a) + a = y。因此，f(x) 是满射。

综上所述，我们构造的函数 f(x) = (b-a)x + a 是从闭区间 [0,1] 到闭区间 [a,b] 的双射函数，因此闭区间 [0,1] 与闭区间 [a,b] 对等。

3: 根据 Bernstein 定理，我们需要证明存在一个双射函数 f: (0,2) -> [0,2]。

定义函数 f(x) = x，其中 x ∈ (0,2)。

首先，我们需要证明 f(x) 是从 (0,2) 到 [0,2] 的映射。显然，对于任意的 x ∈ (0,2)，有 x ∈ [0,2]。因此，f(x) 是从 (0,2) 到 [0,2] 的映射。

其次，我们需要证明 f(x) 是双射函数。即证明 f(x) 是一一映射和满射。

(1) 一一映射：假设 f(x₁) = f(x₂)，其中 x₁, x₂ ∈ (0,2)。则有 x₁ = x₂。因此，f(x) 是一一映射。

(2) 满射：对于任意的 y ∈ [0,2]，我们需要找到一个 x ∈ (0,2)，使得 f(x) = y。由于 y ∈ [0,2]，所以存在一个 x = y ∈ (0,2)，使得 f(x) = x = y。因此，f(x) 是满射。

综上所述，我们构造的函数 f(x) = x 是从开区间 (0,2) 到闭区间 [0,2] 的双射函数，因此开区间 (0,2) 与闭区间 [0,2] 对等。