实变函数：开区间与闭区间对等证明

为了证明开区间 (0, 1) 与开区间 (a, b) 对等，其中 a < b，我们需要构建一个一一映射函数。

设 f(x) = a + (b-a)x，其中 x ∈ (0, 1)。

首先，我们需要证明 f(x) 是一个映射，即对于任意的 x ∈ (0, 1)，f(x) 有唯一的映射值。

假设存在两个不同的实数 x1 和 x2，使得 f(x1) = f(x2)，即 a + (b-a)x1 = a + (b-a)x2。通过移项得到 x1 = x2，这与假设矛盾，因此 f(x) 是一个映射。

其次，我们需要证明 f(x) 是一个满射，即对于任意的 y ∈ (a, b)，存在唯一的 x ∈ (0, 1)，使得 f(x) = y。

由于 a < y < b，我们可以通过移项得到 x = (y-a)/(b-a)。由于 a < y < b，所以 0 < (y-a)/(b-a) < 1，即 x ∈ (0, 1)。因此，对于任意的 y ∈ (a, b)，存在唯一的 x ∈ (0, 1)，使得 f(x) = y，即 f(x) 是一个满射。

综上所述，我们构建的函数 f(x) 是一个一一映射，证明了开区间 (0, 1) 与开区间 (a, b) 对等。

为了证明闭区间 [0, 1] 与闭区间 [a, b] 对等，其中 a < b，我们需要构建一个一一映射函数。

设 g(x) = a + (b-a)x，其中 x ∈ [0, 1]。

首先，我们需要证明 g(x) 是一个映射，即对于任意的 x ∈ [0, 1]，g(x) 有唯一的映射值。

假设存在两个不同的实数 x1 和 x2，使得 g(x1) = g(x2)，即 a + (b-a)x1 = a + (b-a)x2。通过移项得到 x1 = x2，这与假设矛盾，因此 g(x) 是一个映射。

其次，我们需要证明 g(x) 是一个满射，即对于任意的 y ∈ [a, b]，存在唯一的 x ∈ [0, 1]，使得 g(x) = y。

由于 a ≤ y ≤ b，我们可以通过移项得到 x = (y-a)/(b-a)。由于 a ≤ y ≤ b，所以 0 ≤ (y-a)/(b-a) ≤ 1，即 x ∈ [0, 1]。因此，对于任意的 y ∈ [a, b]，存在唯一的 x ∈ [0, 1]，使得 g(x) = y，即 g(x) 是一个满射。

综上所述，我们构建的函数 g(x) 是一个一一映射，证明了闭区间 [0, 1] 与闭区间 [a, b] 对等。