正三角形外心与等分点向量问题

(1) 由外心的性质可知，OC为AB的垂直平分线，因此OC与AB平行。又因为AB的长度为1，设OC与AB的距离为h，则有$h=\frac{\sqrt{3}}{6}$。又由于P1,P2,…,P2023是BC的等分点，因此BPi=PiC=BC/(n+1)=1/2024，即$BP_i=CP_i=\frac{1}{2024}$。同理，AQj=CQj=(n+1)/2024=1/2024，ALk=LBk=(n+1)/2024=1/2024。因此，OPi=|OC|×sin∠P_iOC=|OC|×sin(\frac{\pi}{n+1})。由于OC与AB平行，因此OPi在AB上的投影为|h|×sin(\frac{\pi}{n+1})。注意到OPi的方向与AB相反，因此有OPi=(-1)^{i+1}|OPi|\cdot \frac{h}{|h|}。同理，OQj=(-1)^{j+1}|OQj|\cdot \frac{h}{|h|}，OLk=(-1)^{k+1}|OLk|\cdot \frac{h}{|h|}。因此，所求的向量和为：

$$\begin{aligned}&|OC\to+OP_1\to+OP_2\to+\cdots+OP_{2023}\to+OB\to|\=&|OC\to|+|OP_1\to|+|OP_2\to|+\cdots+|OP_{2023}\to|+|OB\to|\=&2|h|+2\sum_{i=1}^{2023}|OP_i\to|\=&2|h|+2h\sum_{i=1}^{2023}(-1)^{i+1}|OP_i|\cdot \frac{h}{|h|}\=&2|h|+2h\sum_{i=1}^{2023}(-1)^{i+1}\sin\frac{\pi}{n+1}\=&2|h|+2h\sum_{i=1}^{2023}(-1)^{i+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}\=&2|h|\cdot (1-\frac{\sqrt{3}}{3})\= &\frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$$

因此，答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2)(i) 注意到OC与CPi、CQj均为两个平行向量，因此有：

$$OC\to\cdot CP_i\to+OC\to\cdot CQ_j\to=OC\to\cdot (CP_i\to+CQ_j\to)=OC\to\cdot PQ\to$$

其中，PQ\to为向量P_iP_j。由于P_iP_j垂直于AB，因此与OC垂直。因此，上式中的PQ\to在OC\to的投影为0，即OC\to与PQ\to垂直。因此：

$$OC\to\cdot PQ\to=|OC\to||PQ\to|\cdot\cos\theta$$

其中，$\theta$为OC\to与PQ\to的夹角。设$\alpha=\angle CP_iO,\beta=\angle CQ_jO$，则有$\theta=\pi-\alpha-\beta$。又因为OC为三角形ABC的外心，因此$\angle ACB=2\angle AOB=\pi-2\alpha-2\beta$。因此，

$$\begin{aligned}\cos\theta= &\cos(\pi-2\alpha-2\beta)\=&-\cos(2\alpha+2\beta)\=&-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\beta+\sin^2\beta\= &\frac{1}{2}(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha+\sin^2\beta-\cos^2\beta)\=&\frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)\end{aligned}$$

因此，

$$OC\to\cdot CP_i\to+OC\to\cdot CQ_j\to=\frac{1}{2}|OC\to||PQ\to|\cdot\sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha)$$

又因为$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，$\sin(\beta-\alpha)=\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta$，因此：

$$\begin{aligned}\OC\to\cdot CP_i\to+OC\to\cdot CQ_j\to= &\frac{1}{2}|OC\to||PQ\to|\cdot(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)(\sin\beta\cos\alpha-\sin\alpha\cos\beta)\= &\frac{1}{2}|OC\to||PQ\to|\cdot(\sin^2\beta\cos\alpha\cos\beta-\sin^2\alpha\cos\alpha\cos\beta)\= &\frac{1}{2}|OC\to||PQ\to|\cdot\sin(\beta-\alpha)\cdot\cos\alpha\cos\beta\= &\frac{1}{2}|OC\to||PQ\to|\cdot\sin(\beta-\alpha)\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\end{aligned}$$

因此，所求的值为：

$$\begin{aligned}&OC\to\cdot CP_1\to+OC\to\cdot CQ_1\to=|OC\to||P_1P_1\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_1\to+OC\to\cdot CQ_2\to=|OC\to||P_1P_2\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (\sqrt{3}+\frac{1}{3})=\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_1\to+OC\to\cdot CQ_3\to=|OC\to||P_1P_3\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_1\to+OC\to\cdot CQ_4\to=|OC\to||P_1P_4\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\sqrt{3}+\frac{1}{3})=-\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_2\to+OC\to\cdot CQ_1\to=|OC\to||P_2P_1\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\sqrt{3}+\frac{1}{3})=-\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_2\to+OC\to\cdot CQ_2\to=|OC\to||P_2P_2\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_2\to+OC\to\cdot CQ_3\to=|OC\to||P_2P_3\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (\sqrt{3}-\frac{1}{3})=\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_2\to+OC\to\cdot CQ_4\to=|OC\to||P_2P_4\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_3\to+OC\to\cdot CQ_1\to=|OC\to||P_3P_1\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_3\to+OC\to\cdot CQ_2\to=|OC\to||P_3P_2\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (-\sqrt{3}+\frac{1}{3})=-\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_3\to+OC\to\cdot CQ_3\to=|OC\to||P_3P_3\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_3\to+OC\to\cdot CQ_4\to=|OC\to||P_3P_4\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (\sqrt{3}+\frac{1}{3})=\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_4\to+OC\to\cdot CQ_1\to=|OC\to||P_4P_1\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (\sqrt{3}-\frac{1}{3})=\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_4\to+OC\to\cdot CQ_2\to=|OC\to||P_4P_2\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\&OC\to\cdot CP_4\to+OC\to\cdot CQ_3\to=|OC\to||P_4P_3\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=-\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot (\sqrt{3}+\frac{1}{3})=-\frac{1}{24}\&OC\to\cdot CP_4\to+OC\to\cdot CQ_4\to=|OC\to||P_4P_4\to|\cdot\frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))=0\end{aligned}$$

因此，答案为$(-\frac{1}{12},\frac{1}{12})$。

(ii) 注意到OPi、OQj、OLk均在平面ABC上，因此它们的向量积可以表示为一个向量在平面ABC的模长，乘上法向量的模长。设向量OPi\to的模长为a，方向为$\theta$，向量OQj\to的模长为b，方向为$\phi$，向量OLk\to的模长为c，方向为$\psi$，则所求的向量积为：

$$a\cdot b\cdot \sin(\theta-\phi)\cdot c\cdot\cos(\theta-\psi)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

因此，所求的最大值为：

$$\begin{aligned}&\max{a\cdot b\cdot \sin(\theta-\phi)\cdot c\cdot\cos(\theta-\psi)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}\= &\max{\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot b\cdot c\cdot (\sin\theta\cos\phi\cos\psi+\cos\theta\sin\phi\sin\psi)}\ \leq &\max{\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot b\cdot c\cdot (\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi)}\ \leq &\max{\frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot b\cdot c\cdot (\sin\theta+\cos\theta)}\= &\frac{\sqrt{3}}{2}\max{a\cdot b\cdot c\cdot (\sin\theta+\cos\theta)}\end{aligned}$$

其中，第一个不等式是因为$|\cos\psi|\leq 1$，第二个不等式是因为$\sin\phi\cos\psi+\cos\phi\sin\psi = \sin(\phi+\psi)\leq 1$。注意到$\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$，因此当$\theta=-\frac{\pi}{4}$时取得最大值，此时有：

$$a\cdot b\cdot c\cdot (\sin\theta+\cos\theta)=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3=\frac{3\sqrt{3}}{4096}$$

因此，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{8192}$。同理，最小值也可以类似地计算，为$-\frac{\sqrt{3}}{8192}$