MATLAB 灰色模型建立方法详解 - 预测分析与应用

一、建立数据矩阵 将序列数据转化为矩阵形式，每列表示一组数据，每行表示不同的数据点，第一列为原始数据列，如下：

$$ \left[\begin{matrix} x(1)&x(2)&\cdots &x(n)
x(2)&x(3)&\cdots &x(n+1)
\cdots &\cdots &\cdots &\cdots
x(k)&x(k+1)&\cdots &x(k+n-1)
\end{matrix}\right] $$

二、计算累加生成函数 根据灰色模型理论，可建立累加生成函数。对于序列$x(1),x(2),\cdots,x(n)$，其对应的累加生成函数为：

$$ \sum_{i=1}^k x(i)=\frac{1}{2}[x(1)+x(2)]k+\sum_{i=1}^{k-1}x(i+1) $$

其中，$k=1,2,\cdots,n$。

三、计算累加量 由累加生成函数可得到累加量序列，即：

$$Y(1)=x(1)$$$Y(2)=x(1)+x(2)$$$$\cdots$$$$Y(n)=\sum_{i=1}^nx(i)$$

四、计算均值生成函数 对于累加量序列$Y(1),Y(2),\cdots,Y(n)$，其均值生成函数为：

$$ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k Y(i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k x(i)=\overline{x(k)} $$

其中，$k=1,2,\cdots,n$。

五、计算数据矩阵的级比序列 根据级比公式：

$$ \frac{x(i)}{x(i+1)}=\frac{Y(i)}{Y(n)} $$

可得到级比序列：

$$ \frac{x(1)}{x(2)},\frac{x(2)}{x(3)},\cdots,\frac{x(n-1)}{x(n)} $$

六、建立灰色模型 根据级比序列，可得到其均值：

$$ \overline{k}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}\frac{x(i)}{x(i+1)} $$

进而得到灰色模型的参数：

$$a=\frac{2}{1+\overline{k}},b=\frac{x(1)-a\cdot x(2)}{1-a}$$

七、预测分析 利用建立的灰色模型，可得到预测值序列：

$$ \hat{x}(n+1)=\frac{x(1)-b/a}{a^{n+1}} $$

其中，$n$为预测时刻，$\hat{x}(n+1)$为预测值。可以通过比较预测值和实际值的误差来评价模型的预测能力。