三元二次型 T(x) = x'Ax 平方项系数为 0 且满足 Aα = 2α 的求解

已知三元二次型 T(x) = x'Ax 的平方项系数为 0，并且 (1, 2, 1)T α = - 满足 Aα = 2α。

(1) 求该二次型的表达式：

首先根据平方项系数为 0，可知二次型的表达式为 T(x) = x'Bx，其中 B 为对称矩阵。

又根据题意，有：

T(α) = (1 2 1)B(1 2 1)T = -α

展开计算可得：

B = 1/2 * (1 1 -1; 1 4 -2; -1 -2 1)

因此，该二次型的表达式为：

T(x) = 1/2 * (x1 + x2 - x3)^2 + 2x2^2 - 2x1x3