N元有限集等价关系数量计算及详细证明

假设这个n元有限集为A，我们来考虑等价关系的个数。

首先，我们可以将A中的每个元素都单独作为一个等价类，这样就得到了n个等价类。这是最少的等价类数量。

其次，我们可以考虑将A中的元素分成若干个不相交的非空子集，每个子集作为一个等价类。例如，如果A={1,2,3,4,5}，那么{1,2},{3,4},{5}就是一种等价关系。我们可以使用插板法来计算这种情况下的等价关系个数。

假设我们有k个子集，那么我们需要将n个元素分成k个非空子集。这就相当于将n个球放入k个盒子里，每个盒子至少放一个球。使用插板法，可以得到等价关系的个数为：

$${n \brace k} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^i{k \choose i}(k-i)^n$$

其中，${n \brace k}$表示n元素分成k个非空子集的方案数，${k \choose i}$表示从k个盒子中选择i个盒子的方案数，$(-1)^i$表示将i个盒子中至少有一个球的方案数取负数，$(k-i)^n$表示将n个球放入k-i个盒子中的方案数。

综上所述，等价关系的个数为：

$$1 + \sum_{k=1}^{n} {n \brace k}$$

其中，第一项表示将每个元素单独作为一个等价类的情况，后面的项表示将元素分成若干个不相交的非空子集的情况。