大地电磁数值模拟方法综述：有限元法在处理电性各向异性中的优势

大地电磁学是一种广泛应用于地下构造研究的电磁地球物理方法。大地电磁数值模拟对于大地电磁调查设计、反演、地质解释和地球物理研究的许多方面都具有重要意义。例如，根据地下导电体的导电性、几何形状和倾角对其进行建模，可以在MT测量中获得有关相位响应和灵敏度的大量信息。虽然有许多不同的建模技术，但有限元方法是最常用的。

1. 大地电磁法的原理和应用

大地磁(MT)是一种频域电磁技术，它利用自然产生的电磁场来研究地球的电导率结构(Vozoff, 1991)。1hz以上MT信号的自然来源是雷电放电和世界范围内的其他气象活动。低于1hz的其他信号来源是由于太阳风和地球磁层之间的相互作用(Simpson和Bahr, 2005)。MT勘探中的探测深度受信号频率和地电阻率控制(Chave and Jones, 2012)。

由于大地电磁法在矿产(Swift, 1967)、油气(Keller, 1968)和岩石圈(Cantwell and Madden, 1960)勘探中的应用已经很长时间，因此在野外工作之前进行数值模拟以进行调查规划，在野外工作之后进行数值模拟以方便反演变得更加重要。Jones和McNeice(2002)讨论了在调查设计和实地活动之前进行正演建模的重要性的例子;Queralt et al.(2007)。对MT进行数值模拟的方法之一是使用有限元(Ansari和Farquharson, 2014)方法求解亥姆霍兹方程(McNeill和Labson, 1991)。Ansari等人(2020)专门开发了大地电磁法的有限元算法。(Zhdanov et al.， 1997)给出了MT建模的一些经典基准示例。

2. 直流电阻率法的数值模拟方法

直流电阻率法是一种广泛应用于矿产勘查、水文勘查、环境调查、土木工程等领域的浅层探测技术。随着三维(3D)直流采集仪器和正反演方法的发展，三维测量和数据处理逐渐得到应用，近期有不少学者为我们提供了开源代码(Gernez et al.， 2020;Blanchy et al.， 2020)学习和使用。目前，在正演模拟中应用最广泛的数值方法是有限差分法(Spitzer, 1995;Wang and Fang, 2001)，积分方程法(Hvoždara and Kaikkonen, 1998;Mirgalikyzy等，2015;Ren et al.， 2017)和有限元法(Bibby, 1978;Li and Spitzer, 2005;任和唐，2009;Cai et al.， 2017;Karaoulis et al.， 2013;Johnson等人，2017)。与前者相比，有限元法(FEM)可以与非结构化网格相结合(Li和Pek, 2008;任、唐，2010;Tang et al.， 2010;Wang et al.， 2013)，为模拟地形模型和复杂地质体提供了重要作用。虽然有限元计算在计算上是昂贵的，但近年来计算能力的提高使这种方法得到了更广泛的应用。

3. 电性各向异性对大地电磁模拟的影响

在大地电磁勘探中，地下地电介质往往伴随着电性各向异性，这种各向异性常出现在断裂带、破碎带、矿物构造、海底沉积岩等地质构造中(Jones, 2012;Li and Pek, 2008;Pek和Santos, 2002)。如果在大地电磁学正演模拟中不考虑给定电介质的各向异性，正演计算结果会产生不可忽略的偏差。因此，反演结果会产生虚假异常，从而产生误导性的MT检测结果和地质解释结果(Adetunji et al.， 2015;Eisel and Haak, 1999;马蒂,2014;阴,2003)。

近年来，许多研究都集中在电各向异性对电磁感应信号的影响上。正演模拟的主要方法是有限差分法(Kong et al.， 2018;Newman and Alumbaugh, 2002;Pek和Verner, 1997)和有限元法(Gallardo-Romero和Ruiz-Aguilar, 2022;李,2002;Puzyrev et al.， 2016;肖等，2018,2019;Zhang等人，2021)。有限元法的单元离散过程最为灵活，对复杂地电结构中的起伏地形和异常体非常适用。然而，有限元方法容易产生大量的元素(NE)，这导致有限元系统方程的自由度非常大，降低了算法的计算效率(Grayver和b<s:1> rg, 2014)。 (Elias and Alderton, 2020)。

4. 有限元法在处理电性各向异性的优势

三维大地电磁建模对于理解电磁(EM)场如何在非均质地球中扩散是至关重要的，对于复杂的地质结构，它必须诉诸于数值技术。用于大地电磁学建模的主要数值技术是有限差分(FD)、积分方程(IE)和有限元法(FEM)(参见Avdeev, 2005, Börner, 2009)。FD技术一直是MT建模的流行选择，因为它的数值实现相对简单(例如Mackie et al.， 1994, Kelbert et al.， 2014)。然而，这种技术仅限于直线网格，并且涉及复杂几何形状(例如粗糙地形)的模型不仅难以表示，而且还必须精细地细化以达到可接受的精度。反过来，FEM支持使用非结构化网格，它可以更好地近似复杂的边界，而不会施加沉重的计算负担。另一种支持非结构化网格的方法是有限体积(FV)。该方法已用于可控源电磁建模(Jahandari和Farquharson, 2010)，但尚未应用于非结构化网格上的MT建模。

5. 基于边缘和节点的有限元方法在三维大地电磁模拟中的应用

自从地球内部各向异性电场的发现以来，大地电磁正演模拟响应的研究一直具有重要意义。在这项研究中，我们提出了一种基于边缘和节点的有限元方法(FEM)，用于一般各向异性介质中三维(3D)大地电磁法正演问题。在麦克斯韦方程的基础上，采用库仑测量法推导出偏微分方程，并采用基于边缘和节点的有限元方法进行离散。磁矢量A采用边缘有限元法离散，电标量ψ采用节点有限元法离散。采用六面体网格细化计算域。利用加权残差法的伽辽金变体，得到了磁矢量a和电标量ψ的稀疏线性系统。设计了三个模型来验证和分析我们的正演建模代码，将其与一维解析解和其他学者开发的代码的结果进行比较。使用直接求解器和带预处理器的迭代求解器来评估代码的性能。数值实验表明，所编写的正演模拟代码准确、鲁棒性好，收敛速度快。此外，本文算法组装的刚度矩阵比节点有限元组装的刚度矩阵要小，这进一步证明了本文算法在计算内存方面的优势。

6. 各向异性正演模拟的替代方法：矢量-标量势公式

三维大地电磁各向异性的正演模拟与各向同性数值方法一致，包括积分方程(IE)方法(Avdeev和Knizhnik, 2009;Kruglyakov and Kuvshinov, 2018)， FD (Newman and Alumbaugh, 1995;Wang et al.， 2021)，有限元(FE) (Jin, 2002;Nunes and Regis, 2020;da Piedade等，2021;Zhang et al.， 2021)和有限体积(FV)方法(Weiss and Constable, 2006;Kruglyakov and Kuvshinov, 2018)。目前，研究人员已经开发了几种针对各向异性介质的三维正演建模算法。例如，Pankratov等人(1997)提出了一种使用IE方法的电磁(EM)各向异性正演算法。随后，Wang and Fang(2001)和Yu et al.(2018)提出了各向异性导电介质中大地电磁法正演模拟的FD方法。最近，Xiao et al.(2018)和Liu et al.(2018)分别针对矩形网格和非结构化网格开发了基于边缘的FEM来模拟三维MT正演响应。Han et al.(2018)和Guo et al.(2020)使用FV方法实现了三维MT的任意正演建模。然而，上述方法都是基于直接电磁(EM)方法。对于直接电磁法，在低频时，旋旋算子会产生相当大的零空间，导致刚度矩阵的高度病态化和不稳定的杂散模态。因此，一种流行的静态发散校正技术已被应用于解决这些限制(Wang等人，2017;Zhou et al.， 2021)，并进行了一些复杂的计算。

本文还提出了一种基于矢量-标量势公式的方法来代替直接电磁法。一种常用的势法是用库仑量规将电场离散成磁矢量A和电标量ψ (Badea et al.， 2001)。目前，基于A−ψ势的各向异性正演模拟研究较少。Hou等人(2006)在任意三维非均匀电各向异性介质中使用了基于A−ψ公式的FD方法。Xiao et al.(2019)和Ye et al.(2021)开发了节点有限元法，以实现基于A−ψ势的各向异性介质中的大地电磁法建模。此外，一些研究采用了次级A−ψ电位(Puzyrev et al.， 2013;Peng et al.， 2018)在三维可控源电磁建模中的应用。

7. 总结

本文综述了大地电磁学中常用的数值模拟方法，包括有限元法、有限差分法和积分方程法等。其中，有限元法在处理非结构化网格和复杂边界方面具有优势，但需要高计算能力。针对地下介质的电性各向异性，本文介绍了基于边缘和节点的有限元方法，用于三维大地电磁正演模拟。通过三个模型的验证，结果表明该方法精确、鲁棒性好、收敛速度快。另外，本文提到了基于矢量-标量势公式的方法，用于代替直接电磁法。最后，本文总结了各向异性正演模拟的研究进展和应用现状