证明任意矩阵都存在最小多项式

假设存在一个矩阵'A'没有最小多项式，即任何次数大于'0'的多项式都不是'A'的特征多项式。则存在一个向量'v'，使得'v, Av, A^2v, ...'线性无关。我们可以将这些向量组成一个无限维的向量空间'V'，其中每个向量都是形如'A^kv'的线性组合。

由于'V'是无限维的，我们可以构造出一个无限维的'A'的子空间'W'，它是由'V'中的一组基构成的。显然，'W'也是'A'的不变子空间，因为'A'作用于'W'中的任何向量仍然在'W'中。

现在考虑'A'在'W'上的限制。由于'W'是'A'的不变子空间，'A'在'W'上的限制可以表示为一个矩阵'B'，它作用于'W'中的任何向量，产生的结果仍然在'W'中。因此，'B'也没有最小多项式。

我们可以重复上述步骤，构造出一个新的'A'的不变子空间'W''，它是由'W'中的一组基构成的。然后我们可以考虑'A'在'W''上的限制，它可以表示为一个矩阵'B''，它也没有最小多项式。

我们可以一直重复这个过程，构造出一个无限维的链'V ⊇ W ⊇ W'' ⊇ ...'，其中每个子空间都是'A'的不变子空间，且每个限制矩阵都没有最小多项式。但这是不可能的，因为'A'是一个有限维矩阵，它不能有无限维的不变子空间链。因此，假设不成立，任意矩阵都存在最小多项式。