等边三角形中动点距离的最小值问题

如图所示，连接BM、BN，由于ABC是等边三角形，所以BM=BN=x，AM=CN=h，所以AN=BN-x=h，CM=BM-x=h。/n/n因为AM=CN，所以AMCN是一条直线，所以'∠ANM = ∠BNM'。/n/n又因为'△ABM'和'△BNC'是等边三角形，所以'∠AMB = ∠BNC = 60°'。/n/n所以'∠ANM + ∠AMB + ∠BNM = 180°'，即'∠BNM = 120° - ∠ANM'。/n/n由正弦定理可得：/n/n$$/frac{x}{/sin 60^/circ} = /frac{h}{/sin /angle BNM} = /frac{h}{/sin (120^/circ - /angle ANM)}$$/n/n化简得：/n/n$$/frac{x}{/sqrt{3}} = /frac{h}{/sin /angle ANM}$$/n/n因为$x=h+/frac{h}{/sqrt{3}}$，所以：/n/n$$/frac{x}{h} = 1+/frac{1}{/sqrt{3}}$$/n/n又因为'∠ANM < 90°'，所以'sin ∠ANM < 1'，所以$/frac{h}{/sin /angle ANM} > h$，所以$/frac{x}{h} > 1$。/n/n所以$NM=h/sqrt{3}=/frac{/sqrt{3}}{2}AB$，最小值为$/frac{/sqrt{3}}{2}AB$，当且仅当'∠ANM = 60°'时取到。