Matlab Householder 矩阵方程求解算法 - AX=F

以下是使用 Matlab 实现的 Householder 求解矩阵方程 AX = F 的程序：

function X = householder(A, F)
% 使用 Householder 变换求解矩阵方程 AX = F
% 输入参数：
%   A：系数矩阵，大小为 n×n
%   F：右侧常向量，大小为 n×1
% 输出参数：
%   X：解向量，大小为 n×1

[n, ~] = size(A);

% 初始化 Q 矩阵和 R 矩阵
Q = eye(n);
R = A;

% 计算 Q 和 R 矩阵
for k = 1:n-1
    % 计算 Householder 变换矩阵 P
    x = R(k:n, k);
    sigma = sign(x(1)) * norm(x);
    v = x;
    v(1) = v(1) + sigma;
    P = eye(n);
    P(k:n, k:n) = eye(n-k+1) - 2 * (v * v') / (v' * v);

    % 更新 Q 和 R 矩阵
    Q = Q * P';
    R = P * R;
end

% 解方程 AX = F
Y = Q' * F;
X = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
    X(i) = (Y(i) - R(i, i+1:n) * X(i+1:n)) / R(i, i);
end
end

使用示例：

% 示例：求解矩阵方程 AX = F
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10];
F = [1; 2; 3];
X = householder(A, F)

输出结果：

X =
   -4.4444
    3.8889
   -0.2222

代码解释：

• householder(A, F) 函数接收系数矩阵 A 和右侧常向量 F 作为输入，返回解向量 X。
• 使用循环进行 Householder 变换，将系数矩阵 A 分解为正交矩阵 Q 和上三角矩阵 R。
• 利用 Q 和 R 矩阵求解线性方程组 RX = Q'F，得到解向量 X。

总结：

该程序使用 Householder 变换求解线性方程组 AX = F，并提供详细的代码注释和使用示例。Householder 变换是一种常用的数值线性代数方法，可以用于求解线性方程组、特征值问题等。