Shamir 门限秘密共享算法：原理、实现和破解流程

一、实验目的

掌握车联网中的数据共享方案原理，重点学习 Shamir 门限秘密共享算法。

二、实验环境

Python 3.9 及以上版本，以及必要的库：

import Crypto.Util.number as numb
import random

三、实验内容

1. Shamir (t, w) 门限密钥共享方案原理

Shamir (t, w) 门限方案是通过构造一个 t-1 次多项式，将需要共享的主密钥 S 作为常数项，碎片密钥分成 w 部分给 w 个参与者，当碎片密钥数量大于或者等于 t 的话，就可以求解出这个主密钥 S。

子密钥生成

构造多项式：

F(x) = s + a1 * x + a2 * x^2 + ... + at-1 * x^(t-1) (mod p)

其中：

s 为密钥
p 为素数 (s 取 w 个不相等的 x 带入 F(x) 中，得到 w 组子密钥，分发给 w 个人保管)
p 公开，销毁子密钥生成多项式
每个参与者保管自己的子密钥

恢复密钥

构造多项式，并取 x=0，代入 t 组密钥可以求解出 F(0)，也就是主密钥 s。

2. Python 实现 Shamir 门限秘密共享算法

import Crypto.Util.number as numb
import random


# 求逆的函数，之前的版本用python2写的，这次用的python3，只把整除符号改了一下
def oj(a, n):
    a = a % n
    s = [0, 1]
    while a != 1:
        if a == 0:
            return 0
        q = n // a
        t = n % a
        n = a
        a = t
        s += [s[-2] - q * s[-1]]
    return s[-1]


# max_length 为p的长度，同时也是秘密的最大长度
# secret_is_text =0 默认输入时文本， 非0时认为是数字
# p 默认为0， 会根据max_length 自动生成，不为0时直接使用，需要保证p为素数， 函数内没有素性检验
def create(max_length=513, secret_is_text=0, p=0):
    if not p:
        p = numb.getPrime(max_length)

    w = int(input('请输入秘密保存人数：'))
    t = int(input('请输入秘密恢复所需人数：'))
    while not (t > 0 and t <= w):
        t = int(input('请重新输入：'))
    s = input('请输入你的秘密:')

    if secret_is_text:
        s = numb.bytes_to_long(s.encode('utf-8'))
    else:
        try:
            s = int(s)
        except Exception as e:
            s = numb.bytes_to_long(s.encode('utf-8'))

    x_list = list()
    a_list = list()
    i = w
    while i > 0:
        x = random.randint(p // 2, p)  # 该范围没有特定限制，如果想让xi,yi取小一点儿的话可把范围写小点儿，但是要大于w
        if x not in x_list:
            x_list.append(x)
            i -= 1

    for a in range(t):
        a_list.append(random.randint(p // 2, p))  # 同上

    result = list()
    for x in x_list:
        y = s
        for a_n in range(t):
            a = a_list[i]
            y += a * pow(x, i + 1, p)
        result.append((x, y))
    return t, p, result


# get_text=1 默认恢复为字符串，若想得到数字填0
def restore(p, information, get_text=1):
    x_list = list()
    y_list = list()
    for x, y in information:
        x_list.append(x)
        y_list.append(y)

    s = 0
    for x_i in range(len(x_list)):
        tmp_num = y_list[x_i]
        x_i_j = 1
        for x_j in range(len(x_list)):
            if x_i != x_j:
                tmp_num = tmp_num * (0 - x_list[x_j]) % p
                x_i_j *= x_list[x_i] - x_list[x_j]
        tmp_num = tmp_num * oj(x_i_j, p) % p
        s += tmp_num

    s = s % p
    print(s)
    if get_text:
        try:
            s = numb.long_to_bytes(s)
            s = s.decode('utf-8')
        except Exception as e:
            print(e)

    return s


t, p, result = create()  # result为秘密碎片的列表

print(result)
print('还原出最初的秘密S:')
print(restore(p, result[:t], 0))

四、破解流程

由于 Shamir 门限秘密共享算法需要至少 t 个秘密碎片才能恢复出原始秘密，因此破解流程主要是针对秘密碎片的获取。

暴力破解： 如果攻击者知道了适当的 x 值范围，可以通过不断地尝试不同的 x 值，来获取足够数量的秘密碎片，从而破解秘密。
数学攻击： 攻击者可以利用多项式插值的原理，通过已知的秘密碎片，推算出多项式的系数，从而获取秘密碎片的个数，最终破解秘密。
侧信道攻击： 攻击者可以通过监控参与者的通信或其他侧信道信息，获得秘密碎片的分发情况，从而获取足够数量的秘密碎片，最终破解秘密。

五、安全性

需要注意的是，Shamir 门限秘密共享算法的安全性主要依赖于素数 p 的选取和秘密的长度，因此在实际应用中需要进行素性检验和长度限制等措施，以增强算法的安全性。