N到N×N的映射f(n)=<n,n+1>证明：单射和满射

首先，我们需要明确一下什么是单射和满射。

'单射'：若映射f:A→B满足对于任意的a1,a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2，即不同的元素在映射后得到的结果也不同。

'满射'：若映射f:A→B满足对于任意的b∈B，都存在一个元素a∈A，使得f(a)=b，即映射的值域覆盖了全部的值。

现在我们来证明题目中的映射f(n)=<n,n+1>是单射和满射。

'单射证明'：

假设存在n1,n2∈N，且n1≠n2，但是f(n1)=f(n2)。

则有f(n1)=<n1,n1+1>，f(n2)=<n2,n2+1>，且f(n1)=f(n2)=<n1,n1+1>=<n2,n2+1>。

根据上式，我们可以得到n1=n2，因为第一个分量相等，而n1≠n2，所以第二个分量也不相等，因此第一个分量相等的假设是错误的，即f(n)=<n,n+1>是单射。

'满射证明'：

对于任意的(n,m)∈N×N，我们可以找到一个元素n∈N，使得f(n)=<n,n+1>=(n,m)。

具体地，我们可以令n=m-1，此时有f(n)=<n,n+1>=(m-1,m)=(n,m)。

因此，对于任意的(m,n)∈N×N，都可以找到一个元素n∈N，使得f(n)=(m,n)，即f(n)=<n,n+1>是满射。

综上所述，f(n)=<n,n+1>是单射和满射。