高斯消元法求解线性方程组代码解析

这段代码使用高斯消元法求解线性方程组。

function x = gauss512(A, b)

定义一个名为 gauss512 的函数，接收两个参数：系数矩阵 A 和常数向量 b。函数返回解向量 x。

A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];

定义一个示例系数矩阵 A。

b=[8;5.900001; 5; 1];

定义一个示例常数向量 b。

[n,n] = size(A);

获取系数矩阵 A 的行列数，并赋值给变量 n。

x = zeros(n, 1);

定义一个全零向量 x，用于存储解向量，其大小与 A 的列数相同。

P=[1:n];

定义一个排列向量 P，用于记录主元交换过程。

Aug = [A,b]; %增广矩阵

将系数矩阵 A 和常数向量 b 合并成增广矩阵 Aug。

for k = 1:n-1

开始进行主元消元过程，循环迭代 n-1 次，其中 k 表示当前迭代的列号。

[piv,r] = max (abs (Aug(k:n, k))); %找列主元所在子矩阵的行

在当前列 k 中，找到绝对值最大的元素作为主元，并记录其所在的行号 r。

rr=r+k- 1; %列主元所在大矩阵的行

计算主元在增广矩阵 Aug 中的行号 rr。

if r>k

判断主元是否不在当前迭代的第一行，如果不在，则进行行交换操作。

temp=Aug(k, :);

将当前行 k 的元素暂存到 temp 中。

Aug(k, :)=Aug(r, :);

将主元所在行 r 的元素替换到当前行 k。

Aug(r, :)=temp;

将暂存的元素 temp 替换到主元所在行 r。

end

结束行交换操作的判断。

if Aug(k, k)==0

判断主元是否为0，如果为0，则说明矩阵不可逆，无法求解。

error( '对角元出现0')

抛出一个错误信息，表示对角元出现0，矩阵不可逆。

end

结束对角元为0的判断。

%把增广矩阵消元成为上三角for p = k+1:n

开始将增广矩阵化为上三角矩阵，循环迭代从 k+1 到 n，其中 p 表示当前迭代的行号。

for p=k+1:n

循环迭代每行。

Aug(p, :)=Aug (p, :)-Aug(k, :)*Aug(p, k)/Aug(k, k);

将当前行 p 的元素减去 k 行的元素乘以 p 行第 k 列的元素除以主元，从而将当前行 p 第 k 列的元素消为0。

end

结束对当前行的消元操作。

end

结束对所有列的主元消元操作。

%解上三角方程组

开始利用上三角矩阵求解线性方程组。

A = Aug(:,1:n); b = Aug(:,n+1);

从增广矩阵 Aug 中提取系数矩阵 A 和常数向量 b。

x(n) = b(n)/A(n, n);

根据上三角矩阵的特性，直接计算最后一个未知数 x(n) 的值。

for k = n-1:-1:1

开始逆序计算其他未知数，循环迭代从 n-1 到 1，其中 k 表示当前迭代的未知数序号。

x(k)=b(k);

将常数向量 b 中对应元素的值赋值给未知数 x(k)。

for p=n:-1:k+1

循环迭代从 n 到 k+1，其中 p 表示当前迭代的已知数序号。

x(k) = x(k) -A(k, p)*x(p) ;

从 x(k) 中减去已知数 x(p) 与系数矩阵 A 中对应元素的乘积，从而计算当前未知数 x(k) 的值。

end

结束对所有已知数的计算。

x(k)=x(k)/A(k, k);

用 x(k) 除以系数矩阵 A 中对应元素的值，从而得到最终的未知数 x(k) 的值。

end

结束对所有未知数的计算。

P

输出排列向量 P。

x

输出解向量 x。

detA=det (A)

计算系数矩阵 A 的行列式，并赋值给变量 detA。

代码逐句解析内容：这段代码实现了高斯消元法求解线性方程组的过程。

第一行定义了输入参数A和b，其中A表示系数矩阵，b表示常数向量。

接下来进行了一些初始化操作，包括获取矩阵A的行列数，以及定义解向量x和排列向量P，并将解向量x初始化为全0向量。

然后定义增广矩阵Aug，将系数矩阵A和常数向量b合并成增广矩阵。

接下来进行主元消元过程，实现将增广矩阵化为上三角矩阵的操作。在每次迭代中，找到主元所在的行，如果不在当前迭代的第一行，则进行交换操作。然后通过消元操作将主元下方的元素全部消为0，即将增广矩阵化为上三角矩阵。

最后，利用上三角矩阵求解线性方程组，得到解向量x。同时，还输出了排列向量P、矩阵A的行列式detA。

整个代码的实现过程比较清晰，是标准的高斯消元法求解线性方程组的实现。