MATLAB LU分解求解线性方程组示例

本示例代码使用MATLAB进行LU分解，并以此求解线性方程组Ax=b。代码逐句解析，详细讲解LU分解的实现步骤。

clear;
clc;

A=[ 10 -7       0 1
    -3 2.099999 6 2
    5  -1       5 -1
    2  1        0 2 ];
b=[8;5.900001;5;1];
[m,n]=size(A);
L=eye(n);
U=zeros(n);
flag='ok';

for i=1:n
    U(1,i)=A(1,i);
end

for r=2:n
    L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);
end

for i=2:n
    for j=i:n
        z=0;
        for r=1:i-1
            z=z+L(i,r)*U(r,j);
        end
        U(i,j)=A(i,j)-z;
    end
    if abs(U(i,i))<eps
        flag= 'failure';
        return;
    end
    for k=i+1:n
        m=0;
        for q=1:i-1
            m=m+L(k,q)*U(q,i);
        end
        L(k,i)=(A(k, i)-m)/U(i,i);
    end
end

L
U
y=L\b;x=U\y
detA=det(L*U)

代码逐句解析

clear;与clc;分别用于清空MATLAB工作区和命令窗口。
A=[ 10 -7 0 1 -3 2.099999 6 2 5 -1 5 -1 2 1 0 2 ];定义一个4行4列的矩阵A。
b=[8;5.900001;5;1];定义一个4行1列的矩阵b。
[m,n]=size(A);获取矩阵A的行数m和列数n。
L=eye(n);定义一个n行n列的单位矩阵L。
U=zeros(n);定义一个n行n列的零矩阵U。
flag='ok';定义一个字符串变量flag，初值为'ok'。
for i=1:n U(1,i)=A(1,i); end将A的第一行赋值给U的第一行。
for r=2:n L(r,1)=A(r,1)/U(1,1); end计算L的第二行到第n行第一列的值。
for i=2:n开始进行LU分解。
for j=i:n计算U的第i行第j列的值。
for r=1:i-1 z=z+L(i,r)*U(r,j); end计算U的第i行第j列的前i-1个元素的乘积和。
U(i,j)=A(i,j)-z;计算U的第i行第j列的值。
if abs(U(i,i))<eps flag= 'failure'; return; end判断U的对角线元素是否为0，若是则返回'failure'。
for k=i+1:n开始计算L的第i+1行到第n行的值。
for q=1:i-1 m=m+L(k,q)*U(q,i); end计算L的第k行第i列的前i-1个元素的乘积和。
L(k,i)=(A(k, i)-m)/U(i,i);计算L的第k行第i列的值。
endL和U的计算过程结束。
L输出矩阵L。
U输出矩阵U。
y=L\b;x=U\y求解方程组Ax=b的解。
detA=det(L*U)计算矩阵A的行列式。