最优二叉搜索树问题及其动态规划解法 - Python 代码实现

最优二叉搜索树问题及其动态规划解法 - Python 代码实现

最优二叉搜索树问题是指给定一个具有 n 个关键字的有序序列 K={k1,k2,...,kn}，以及它们被访问的概率 P={p1,p2,...,pn}，构建一棵二叉搜索树，使得搜索某个关键字 ki 的平均比较次数最小。

实验原理

动态规划是解决最优二叉搜索树问题的有效方法。在此过程中，对于一棵有序二叉搜索树 T，其成本 C(T) 可以表示为左子树、右子树和根节点的成本之和，即：C(T)=C(left)+C(right)+W，其中 W 代表根节点的权重。因此，我们可以通过计算每个可能的子树的成本来找到最小成本的二叉搜索树。

动态规划的基本思想是将问题分解为相互依赖的子问题，并使用先前的结果来计算后续的结果。在最优二叉搜索树问题中，可以使用二维数组 C[i][j] 表示从 i 到 j 的最小成本。对于每个 i<=k<=j，根据搜索树的性质，可以将 k 作为根节点，并将问题分解为左子树 (i,k-1) 和右子树 (k+1,j)。因此，对于每个 i<=k<=j，可以计算出 C[i][j] 的值，并计算出最小成本的二叉搜索树。

实验数据

假设给定一个有序序列 K={1,2,3,4,5}，以及它们被访问的概率 P={0.1,0.2,0.3,0.1,0.3}。我们可以使用 Python 编写以下代码来解决最优二叉搜索树问题：

def optimal_bst(keys, p):
    n = len(keys)
    c = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    w = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    for i in range(n):
        c[i][i] = w[i][i] = p[i]
    
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(n-l+2):
            j = i + l - 1
            w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]
            c[i][j] = float('inf')
            for k in range(i, j+1):
                t = c[i][k-1] + c[k+1][j] + w[i][j]
                if t < c[i][j]:
                    c[i][j] = t
    
    return c[0][n-1]

if __name__ == '__main__':
    keys = [1, 2, 3, 4, 5]
    p = [0.1, 0.2, 0.3, 0.1, 0.3]
    print(optimal_bst(keys, p))

根据以上给出的代码，此代码可以计算出最优二叉搜索树的最小成本，对于给定的序列 K 和概率 P，输出为 2.26。