高斯消元法求解线性方程组：MATLAB 代码实现及解析

该代码使用 MATLAB 实现高斯消元法求解线性方程组 Ax=b，其中 A 为 4x4 矩阵，b 为 4x1 向量。

function x = gauss512(A, b)
  A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
  b=[32;23; 33; 31];
  [n,n] = size(A);
  x = zeros(n, 1);
  det(A),eig(A)
  cond(A,2)
  Aug = [A,b]; %增广矩阵
  for k = 1:n-1
    [piv,r] = max (abs (Aug(k:n, k))); %找列主元所在子矩阵的行
    rr=r+k- 1; %列主元所在大矩阵的行
    if r>k
      temp=Aug(k, :);
      Aug(k, :)=Aug(r, :);
      Aug(r, :)=temp;
    end
    if Aug(k, k)==0
      error( '对角元出现0')
    end

    %把增广矩阵消元成为上三角
    for p = k+1:n
      Aug(p, :)=Aug (p, :)-Aug(k, :)*Aug(p, k)/Aug(k, k);
    end

  end

  %解上三角方程组

  A = Aug(:,1:n); b = Aug(:,n+1);
  x(n) = b(n)/A(n, n);
  for k = n-1:-1:1
    x(k)=b(k);
    for p=n:-1:k+1
      x(k) = x(k) -A(k, p)*x(p) ;
    end
    x(k)=x(k)/A(k, k);
  end
x

代码解析：

定义矩阵 A 和向量 b：

A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]：定义一个 4x4 矩阵 A。
b=[32;23; 33; 31]：定义一个 4x1 向量 b。

获取矩阵大小和创建解向量：

[n,n] = size(A)：获取矩阵 A 的行列数，这里 A 为方阵，所以行列数相同，都为 n。
x = zeros(n, 1)：创建一个 n 行 1 列的全零向量 x，用于存储解向量。

计算矩阵的行列式、特征值和条件数：

det(A),eig(A)：分别计算矩阵 A 的行列式和特征值。
cond(A,2)：计算矩阵 A 的 2-范数条件数。

创建增广矩阵：

Aug = [A,b]：将矩阵 A 和向量 b 合并成增广矩阵 Aug。

高斯消元：

for k = 1:n-1：循环遍历增广矩阵的每一列，从第一列到倒数第二列，进行消元操作。
- [piv,r] = max (abs (Aug(k:n, k)))：在当前列的子矩阵 Aug(k:n, k) 中找到最大元素的绝对值和其所在行号 r。
- rr=r+k- 1：计算列主元在增广矩阵中的行号。
- if r>k：如果列主元不在当前行，则交换当前行和列主元所在行。
- if Aug(k, k)==0：如果当前列的对角元为 0，则无法进行消元，抛出异常。
- for p = k+1:n：对当前列下方的所有元素进行消元，p 表示当前行号。
  - Aug(p, :)=Aug (p, :)-Aug(k, :)*Aug(p, k)/Aug(k, k)：使用当前列的主元将第 p 行消成零。

解上三角方程组：

A = Aug(:,1:n); b = Aug(:,n+1)：将消元后的增广矩阵重新分割成矩阵 A 和向量 b，用于解上三角方程组。
x(n) = b(n)/A(n, n)：计算解向量的最后一个元素 x(n)。
for k = n-1:-1:1：从倒数第二个元素开始，逐步计算解向量的其他元素，k 表示当前计算的元素位置。
- x(k)=b(k)：先将解向量的第 k 个元素设为 b(k)。
- for p = n:-1:k+1：对当前元素后面的所有元素进行累加计算，p 表示当前计算的元素位置。
  - x(k) = x(k) - A(k, p) * x(p)：累加计算式。
- x(k) = x(k) / A(k, k)：将累加计算得到的结果除以当前元素的系数，得到解向量的第 k 个元素。

返回解向量：

x：返回解向量。

总结：

这段代码演示了如何使用 MATLAB 实现高斯消元法求解线性方程组。代码首先通过增广矩阵将线性方程组转换成矩阵形式，然后通过高斯消元法将增广矩阵化为上三角矩阵，最后解上三角方程组得到解向量。

注意：

该代码针对一个特定的 4x4 线性方程组，需要根据实际情况修改矩阵 A 和向量 b。
代码中使用了 error 函数处理对角元为 0 的情况，可以根据实际需求选择其他错误处理方式。
代码中没有考虑矩阵 A 为奇异矩阵的情况，即行列式为 0 的情况。如果矩阵 A 为奇异矩阵，则方程组无解或有无穷多解。

进一步学习：

可以尝试使用其他编程语言实现高斯消元法。
可以研究其他求解线性方程组的方法，例如 LU 分解法、QR 分解法等。
可以学习线性代数的理论知识，更深入地理解高斯消元法的原理。