MATLAB 高斯消元法解线性方程组代码解析

该代码是用高斯消元法解线性方程组的 MATLAB 实现。

'function x = gauss512(A, b)' 定义了一个函数，输入参数为系数矩阵 A 和常数向量 b，输出为解向量 x。

'A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];' 和 'b=[32;23; 33; 31];' 给出了一个具体的系数矩阵 A 和常数向量 b 的赋值，用于测试该函数。

'[n,n] = size(A);' 获取了系数矩阵 A 的大小，并将解向量 x 初始化为全零向量：'x = zeros(n, 1);'。

'det(A),eig(A)' 计算了矩阵 A 的行列式和特征值，并输出到命令行窗口。

'cond(A,2)' 计算了矩阵 A 的条件数，并输出到命令行窗口。

'Aug = [A,b];' 将系数矩阵 A 和常数向量 b 合并成增广矩阵 Aug。

'for k = 1:n-1' 开始进行高斯消元法的主循环，k 用于迭代消元的次数，从第一行开始，直到倒数第二行。

'[piv,r] = max (abs (Aug(k:n, k)));' 找到列主元所在的子矩阵的行，r 为该行在原始矩阵中的位置。

'rr=r+k- 1;' 计算列主元所在大矩阵的行。

'if r>k' 判断列主元所在行是否与当前处理行一致，如果不一致则进行交换： 'temp=Aug(k, :); Aug(k, :)=Aug(r, :); Aug(r, :)=temp;'。

'if Aug(k, k)==0' 检查主对角线上的元素是否为零，如果是，则抛出异常：'error( '对角元出现0')'。

'for p = k+1:n' 将增广矩阵消元为上三角矩阵，p 用于迭代处理的行数，从当前行的下一行开始直到最后一行。 'Aug(p, :)=Aug (p, :)-Aug(k, :)*Aug(p, k)/Aug(k, k);' 消元操作，将当前行减去第 k 行乘以对应系数，使当前行第 k 列元素变为 0。

'A = Aug(:,1:n); b = Aug(:,n+1);' 从增广矩阵 Aug 中提取系数矩阵 A 和常数向量 b。

'x(n) = b(n)/A(n, n);' 解上三角方程组，从最后一行开始，依次求解每个未知数的值，使用反向代入法。

'for k = n-1:-1:1' 循环处理从倒数第二行到第一行的未知数。 'x(k)=b(k); for p=n:-1:k+1 x(k) = x(k) -A(k, p)*x(p) ; end x(k)=x(k)/A(k, k);' 对每个未知数进行求解，使用当前行常数向量减去该行右侧未知数乘以对应系数的累加和，最后除以主对角线元素。

'x' 输出最终解向量 x。

该代码通过高斯消元法将增广矩阵消元成上三角矩阵，然后通过反向代入法求解线性方程组的解。代码中使用了循环语句和矩阵运算，实现了高效的算法逻辑。