车辆路径问题 (CVRP) 模型实现与优化

本文旨在介绍车辆路径问题 (CVRP) 的模型实现与优化。CVRP 是一种经典的组合优化问题，旨在找到将一组车辆从一个配送中心派往一组客户点的最佳路线，以满足客户需求，并最小化总行驶距离或成本。/n/n我们将使用 Python 语言和 Gurobi 求解器来实现 CVRP 模型。以下是代码示例和详细解释：/n/npython/nfrom gurobipy import */nimport numpy as np/n/ndef createDataSet(): # 创建数据集/n rdn1 = np.random.RandomState(1)/n points = []/n i = 0/n while True:/n x = round(rdn1.uniform(0, 100), 1)/n y = round(rdn1.uniform(0, 100), 1)/n if 45 <= x <= 55 and 45 <= y <= 55:/n continue/n points.append((x, y))/n i += 1/n if i == 300:/n break/n rdn3 = np.random.RandomState(2)/n demand = rdn3.randint(2, 11, 300) # 需求/n return points, demand/n/nvehicleNum = 100/nclients, demand = createDataSet()/nn_customers = len(clients)/nvehicle_fixed_cost = 300 # 固定成本/nvehicle_travel_cost = 1.5 # 行驶成本/nvehicle_working_time_limit = 480 # 工作时间限制 min/nvehicle_capacity_limit = 60 # 车辆容量限制/ndrive_speed = 0.75 # 车辆行驶速度 km/min/nserive_speed = 2.5 # 实际单位货物服务速度 min/ndepot = [(50, 50)] # 0/npositions = depot + clients/n/ndisMatrix = [[0] * (n_customers + 1) for _ in range(n_customers + 1)]/nfor i in range(n_customers + 1):/n for j in range(i + 1, n_customers + 1):/n d = round(((positions[i][0] - positions[j][0]) ** 2 + (positions[i][1] - positions[j][1]) ** 2) ** 0.5, 4)/n disMatrix[i][j] = disMatrix[j][i] = d # 保留 4 位/n/nBigM = 100000/n/nmodel = Model('CVRP')/n/nx = {}/ny = {}/ns = {}/n# 定义决策变量/nfor i in range(n_customers + 1):/n for k in range(vehicleNum):/n name = 'y_' + str(i) + '_' + str(k)/n if i != 0:/n y[i, k] = model.addVar(lb=0, ub=1,/n vtype=GRB.BINARY,/n name=name) # 决策变量表示车辆 k 是否访问客户点 i/n for j in range(n_customers + 1):/n if (i != j):/n name = 'x_' + str(i) + '_' + str(j) + '_' + str(k)/n x[i, j, k] = model.addVar(lb=0, ub=1,/n vtype=GRB.BINARY,/n name=name) # 决策变量表示车辆 k 是否从客户点 i 到客户点 j/n/nfor i in range(n_customers + 1):/n for k in range(vehicleNum):/n name = 's_' + str(i) + '_' + str(k)/n s[i, k] = model.addVar(lb=0, ub=vehicle_working_time_limit,/n vtype=GRB.CONTINUOUS,/n name=name) # 访问时间/n/n# 更新模型/nmodel.update()/n/n# 定义目标函数/nz1 = quicksum(vehicle_travel_cost * disMatrix[i][j] * x[i, j, k] + vehicle_fixed_cost * x[0, j, k] for i in range(n_customers + 1) for j in range(n_customers + 1) for k in range(vehicleNum) if i != j)/nmodel.setObjective(z1, GRB.MINIMIZE)/n/n# 定义约束一 需求/nmodel.addConstrs(quicksum(y[i, k] for k in range(vehicleNum)) == 1 for i in range(1, n_customers + 1))/n/n# 定义约束二 流平衡/nmodel.addConstrs(quicksum(x[i, j, k] for j in range(n_customers + 1)) == quicksum(x[j, i, k] for j in range(n_customers + 1)) for i in range(n_customers + 1) for k in range(vehicleNum))/n/n# 定义约束三 车辆数量/nmodel.addConstr(quicksum(x[0, j, k] for j in range(1, n_customers + 1)) == quicksum(x[j, 0, k] for j in range(1, n_customers + 1)) for k in range(vehicleNum))/nmodel.addConstr(quicksum(x[0, j, k] for j in range(1, n_customers + 1) for k in range(vehicleNum)) <= vehicleNum)/n/n# 定义约束四 决策变量关联/nfor k in range(vehicleNum):/n for j in range(1, n_customers + 1):/n model.addConstrs(quicksum(x[i, j, k] for i in range(n_customers + 1) if i != j) == y[j, k])/n/n## 容量约束/nmodel.addConstrs(quicksum(demand[i] * y[i, k] for i in range(1, n_customers + 1)) <= vehicle_capacity_limit for k in range(vehicleNum))/n/n# 时间约束/nfor k in range(vehicleNum):/n for i in range(n_customers + 1):/n for j in range(n_customers + 1):/n if (i != j):/n model.addConstr(s[i, k] + disMatrix[i][j] * drive_speed + demand[i] * serive_speed - s[j, k]/n - BigM + BigM * x[i, j, k] <= 0)/n/n# 求解/nmodel.optimize()/n/n/n### 模型解读/n/n在这个模型中，/n/n1. 起点和终点都是配送中心。因为在定义客户点时将配送中心加入了客户点列表中，因此约束条件的定义中也包含了起点和终点是配送中心的情况。/n/n2. 车辆工作时间的约束条件：模型中有一个访问时间的变量 $s_{i,k}$，表示车辆 $k$ 在访问客户点 $i$ 后的时间。因此，可以通过对访问时间的约束来限制车辆返回配送中心的时间不超过最大工作时间。具体来说，对于车辆 $k$ 在访问客户点 $i$ 后到达客户点 $j$ 的情况，我们可以定义如下约束条件：/n/n$s_{i,k} + disMatrix[i][j]*drive/_speed + demand[i]*serive/speed - s{j,k} - BigM + BigM * x[i,j,k] /leq 0$/n/n其中，$disMatrix[i][j]$ 表示从客户点 $i$ 到客户点 $j$ 的距离；$drive/_speed$ 表示车辆的行驶速度；$demand[i]*serive/_speed$ 表示在客户点 $i$ 的服务时间。如果车辆 $k$ 在访问客户点 $i$ 后到达客户点 $j$，则车辆 $k$ 到达客户点 $j$ 的时间不能超过最大工作时间。如果车辆 $k$ 不访问客户点 $i$ 到 $j$，则 $x[i,j,k]=0$，约束条件不起作用。/n/n通过这些约束条件，我们可以确保车辆从配送中心出发，依次访问所有客户点，最终返回配送中心，并且总行驶时间不超过最大工作时间限制。/n/n### 总结/n/n本文详细介绍了车辆路径问题 (CVRP) 的模型实现，以及 Python 代码和 Gurobi 求解器如何构建模型、定义约束条件和求解最优方案。此外，还分析了模型中起点、终点和车辆工作时间的约束条件，并详细解释了代码实现细节。希望本文能够帮助你更好地理解 CVRP 问题，并为你的优化研究提供启发。/n