牛顿插值与三次样条插值比较：应用与结果分析

本文使用 MATLAB 代码实现牛顿插值多项式和三次样条插值函数，并通过图像展示两种插值方法在插值节点较少情况下的对比结果，分析其优缺点。

代码实现：

clear; %清空工作区变量
clc; %清空命令窗口
clf; %清空图像窗口
x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; %给定的插值节点
y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; %给定的插值节点处的函数值
n=length(y1); %插值节点的个数
c=y1(:); %将y1列向量化
for j=2:n %求插值节点处的差商
    for i=n:-1:j
        c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));
    end
end
syms x df d; %定义符号变量
df(1)=1;d(1)=y1(1); %df和d分别表示插值多项式的差商和系数，初始化
for i=2:n %求解牛顿插值多项式的系数和常数项
    df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));%递推求解差商
    d(i)=c(i)*df(i);%递推求解插值多项式系数
end
P4=vpa(sum(d),5) %将插值多项式写成符号表达式，并保留小数点后5位数

pp=csape(x1,y1, 'variational'); %调用三次样条函数，生成样条插值函数
q=pp.coefs; %取出样条插值函数的系数

for i=1:4 %循环计算四段样条插值函数，并打印结果
    S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i))^1;(x-x1(i))^0];
    S=vpa(collect(S),5)
end

figure %新建一个绘图窗口
ezplot(P4, [0.2,1.08]); %绘制牛顿插值多项式的图像
hold on; %保持图像
x2=0.2:0.08:1.08; %生成更密集的数据点
y2=fnval(pp, x2); %计算样条插值函数在更密集数据点处的函数值
ind=[1,2,11,10]; %选取几个插值节点
y3=fnval(pp,x2(ind)); %计算样条插值函数在选取插值节点处的函数值
plot(x2,y2,'r',x2(ind),y3,'go') %将插值结果和插值节点处的函数值绘制在同一张图上
title('Newton interpolation with deg=4 and cubic splines'); %添加图像标题
hold off; %关闭保持图像状态

结果分析：

代码运行结果得到牛顿插值多项式和三次样条插值函数在区间[0.2,1.08]上的函数图像，并在图像上标出了插值节点处的函数值。

观察图像可以发现，牛顿插值多项式和三次样条插值函数都能够比较好地拟合插值节点处的函数值，但在节点之外的区域，三次样条插值函数的拟合效果更好，更加平滑。

结论：

在插值节点较少的情况下，牛顿插值多项式能够较好地拟合插值节点处的函数值，但在节点之外的区域存在较大误差。
三次样条插值函数能够在整个区间上进行平滑的拟合，在节点之外的区域误差较小。

因此，在实际应用中，选择插值方法需要根据具体情况进行判断。如果需要在整个区间上进行平滑的拟合，则建议使用三次样条插值函数；如果只需要在插值节点附近进行拟合，则可以使用牛顿插值多项式。