不良率pの製品からn個のサンプリングにおける不良品個数の推定精度

不良率pの製品からn個のサンプリングにおける不良品個数の推定精度

不良率がpの製品の山からn個の製品を取り出すとき、その不良品の個数をXで表すと、Xは2項分布B(n, p)に従います。

6a: 'P(|(X/n) − p| ≦ 0.02) ≧0.95となる n' とは、どう意味であるか、

言葉で説明しなさい。

'P(|(X/n) − p| ≦ 0.02) ≧0.95となる n' とは、不良率がpの製品の山からn個の製品を取り出したとき、その不良品の個数Xをnで割った値とpの差が0.02以下になる確率が0.95以上となるようなnの値を求めることを意味します。

6b: 上記(6a)のnの値をチェビシェフの不等式を用いて評価しなさい。

チェビシェフの不等式より、 P(|(X/n) − p| ≧ k) ≦ 1/k^2

ここで、k = 0.02とすると、 P(|(X/n) − p| ≦ 0.02) ≧ 1 - P(|(X/n) − p| ≧ 0.02) ≧ 1 - 1/0.02^2 ≧ 0.95

よって、 1 - 1/k^2 ≧ 0.95 1/k^2 ≦ 0.05 k^2 ≧ 1/0.05 k ≧ √(1/0.05) ≒ 4.47

したがって、 P(|(X/n) − p| ≦ 0.02) ≧0.95 となるnの値は、 n ≧ (p(1-p))(k/ε)^2 ≧ (p(1-p))(4.47/0.02)^2 ≒ 5625p(1-p)

よって、求めるnの値は、 n ≒ 5625p(1-p)以上となる。