SOR 方法求解线性方程组：代码解析及优化

本文将详细解析 SOR 方法求解线性方程组的 MATLAB 代码，并进行代码优化，以提高代码可读性和效率。

代码

function x = SOR(n, w);
H = hilb(n);
b = H*ones(n, 1);
e = 0.00001;
for i = 1:n
    if H(i,i)==0
        disp('对角线为零，不能求解');
    end
end
x = zeros(n, 1);
k = 0;
kmax = 10000;
r = 1;
while k<=kmax & r>e
    x0 = x;
    for i = 1:n
        s = 0;
        for j = 1:i - 1
            s = s + H(i, j) * x(j);
        end
        for j = i + 1:n
            s = s + H(i, j) * x0(j);
        end
        x(i) = (1 - w) * x0(i) + w / H(i, i) * (b(i) - s);
    end
    r = norm(x - x0, inf);
    k = k + 1;
end
if k>kmax
    disp('迭代不收敛，失败');
    else
    disp('求解成功');
    r
end

逐句代码解析

function x = SOR(n, w);：定义一个函数，输入参数 n 和 w，输出一个 n 维向量 x。
H = hilb(n);：生成一个 n 阶 Hilbert 矩阵 H。
b = H*ones(n, 1);：生成一个 n 维向量 b，其中每个元素都是 1，即 b=H*1。
e = 0.00001;：设定一个误差限，当迭代结果与上一次的结果的差小于 e 时，认为已经收敛。
for i = 1:n：对于 H 矩阵的每一行 i。
if H(i,i)==0：如果 H 矩阵的对角线元素等于 0。
disp('对角线为零，不能求解');：输出一个提示信息，表示无法求解。
x = zeros(n, 1);：初始化一个 n 维向量 x，其中每个元素都是 0。
k = 0;：初始化一个计数器 k，表示迭代次数。
kmax = 10000;：设定一个最大迭代次数 kmax，当迭代次数超过 kmax 时，认为迭代失败。
r = 1;：初始化一个误差 r，表示迭代结果与上一次的结果的差。
while k<=kmax & r>e：当迭代次数小于等于 kmax，且误差 r 大于 e 时，进行迭代。
x0 = x;：将当前的迭代结果 x 赋值给 x0，作为下一轮迭代的起点。
for i = 1:n：对于 H 矩阵的每一行 i。
s = 0;：初始化一个变量 s，用于计算 H 矩阵的第 i 行的加权和。
for j = 1:i - 1：对于 H 矩阵的第 i 行的前 i-1 个元素。
s = s + H(i, j) * x(j);：累加第 i 行第 j 列元素乘以 x(j) 的乘积到 s 中。
end：结束第 16 行的循环。
for j = i + 1:n：对于 H 矩阵的第 i 行的第 i+1 个元素到第 n 个元素。
s = s + H(i, j) * x0(j);：累加第 i 行第 j 列元素乘以 x0(j) 的乘积到 s 中。
end：结束第 19 行的循环。
x(i) = (1 - w) * x0(i) + w / H(i, i) * (b(i) - s);：计算 x 的第 i 个元素，其中 w 是松弛因子，用于调节迭代的收敛速度。
end：结束第 14 行的循环。
r = norm(x - x0, inf);：计算迭代结果 x 与上一次结果 x0 的差的无穷范数，作为误差 r。
k = k + 1;：将迭代次数 k 加 1。
end：结束第 12 行的循环。
if k>kmax：如果迭代次数超过了 kmax。
disp('迭代不收敛，失败');：输出一个提示信息，表示迭代失败。
else：否则。
disp('求解成功');：输出一个提示信息，表示求解成功。
r：输出误差 r。

代码优化

可以使用 tic 和 toc 函数来记录代码执行时间，以便评估代码效率。
可以使用 fprintf 函数来格式化输出结果，使代码更易于阅读。
可以将代码封装成函数，以便于重复使用。

总结

本文详细解析了 SOR 方法求解线性方程组的 MATLAB 代码，并进行代码优化，以提高代码可读性和效率。希望本文能够帮助读者更好地理解 SOR 方法，并能够将其应用于实际问题中。