数值积分计算方法：复合梯形公式、复合辛普森公式和龙贝格算法

1. 定义函数

function y=fun41(x)
y=sqrt(x).*log(x);
end

2. 复合梯形公式和复合辛普森公式

clear;
clc;
h=0.001;     %h为步长,可分别令h=1,0.1,0.01,0.001
n=1/h; 
t=0; 
for i=1:n-1
    t=t+fun41(i*h);
end
T=h/2*(0+2*t+fun41(1));
T=vpa(T,10) 
% 以上为复合梯形公式

% 以下为复合辛普森公式
s1=0;
s2=0;
for i=0:n-1
    s1=s1+fun41(h/2+i*h);
end
for i=1:n-1
    s2=s2+fun41(i*h);
end
S=h/6*(0+4*s1+2*s2+fun41(1));
S=vpa(S,10) 

3. 龙贝格算法

clear;
clc;
m=16;
h=1;
T(1)=(0+fun41(1))*h/2
for i=2:m
    h=h/2;
    n=1/h;
    t=0;
    for j=1:2:n-1
        t=t+fun41(j*h);
    end
    T(i)=T(i-1)/2+h*t;%梯形公式
end
for i=1:m-1
    for j=m:i+1
        T(j)=4^i/(4^i-1)*T(j)-1/(4^i-1)*T(j-1);
        %通过不断的迭代求得T(j)，即T表的对角线上的元素。
    end
end
vpa(T(m),10)

逐句解析内容:

1. *定义函数fun41(x)，用于计算y=sqrt(x).log(x)。

2. 使用复合梯形公式和复合辛普森公式分别计算数值积分：

• 先设定步长h，根据步长计算出n（等分点数）。
• **复合梯形公式：**对于每个小区间，计算左右两端点的函数值并求和，最后用梯形面积公式求得总面积T。
• **复合辛普森公式：**对于每个小区间，计算三个点（左端点、右端点和中点）的函数值并加权求和，最后用辛普森公式求得总面积S。注意：当n为奇数时，需要特殊处理左端点和右端点。

3. 使用龙贝格算法计算数值积分：

• 设定迭代次数m和初始步长h。
• 先使用梯形公式计算T表的第一列元素。
• 循环迭代m次，每次将步长减半，计算出新的等分点数n和对应的T值（使用梯形公式），并填入T表。
• 使用递推公式，依次求解出T表的对角线上的元素，即最终的数值积分值。注意：在递推的过程中，需要对T表的元素进行加权平均。