数值积分方法：复合梯形公式、复合辛普森公式和龙贝格算法

本文将介绍三种数值积分方法：复合梯形公式、复合辛普森公式和龙贝格算法，并给出了相应的代码实现，并对代码逐句进行了解释。

1. 定义函数

function y=fun41(x)
y=sqrt(x).*log(x);
end

该函数为一个输入变量 x 的函数，返回值为 sqrt(x) 乘以 log(x)。

2. 用复合梯形公式和复合辛普森公式计算数值积分

clear;
clc;
h=0.001;     %h为步长,可分别令h=1,0.1,0.01,0.001
n=1/h; 
t=0; 
for i=1:n-1
    t=t+fun41(i*h);
end
T=h/2*(0+2*t+fun41(1));
T=vpa(T,10) 
% 以上为复合梯形公式

% 以下为复合辛普森公式
s1=0;
s2=0;
for i=0:n-1
    s1=s1+fun41(h/2+i*h);
end
for i=1:n-1
    s2=s2+fun41(i*h);
end
S=h/6*(0+4*s1+2*s2+fun41(1));
S=vpa(S,10)

首先，定义步长 h 为 0.001，根据步长计算 n 的值。然后，对于复合梯形公式，根据公式计算积分值 T。对于复合辛普森公式，需要分别计算奇数项和偶数项的和，然后根据公式计算积分值 S。最后，使用 vpa 函数将结果保留 10 位小数。

3. 使用龙贝格算法计算数值积分

clear;
clc;
m=16;
h=1;
T(1)=(0+fun41(1))*h/2
for i=2:m
    h=h/2;
    n=1/h;
    t=0;
    for j=1:2:n-1
        t=t+fun41(j*h);
    end
    T(i)=T(i-1)/2+h*t;%梯形公式
end
for i=1:m-1
    for j=m:i+1
        T(j)=4^i/(4^i-1)*T(j)-1/(4^i-1)*T(j-1);
        %通过不断的迭代求得T(j)，即T表的对角线上的元素。
    end
end
vpa(T(m),10)

首先，定义迭代次数 m 为 16，步长 h 为 1，根据复合梯形公式计算 T 表的第一行元素。然后，对于每一次迭代，将步长缩小一半，根据梯形公式计算出 T 表对角线上的元素。最后，通过迭代求得 T 表的对角线上的元素。最终结果使用 vpa 函数保留 10 位小数。

总结

本文介绍了三种数值积分方法：复合梯形公式、复合辛普森公式和龙贝格算法，并给出了相应的代码实现，并对代码逐句进行了解释。希望本文能够帮助读者更好地理解这三种方法，并能够将其应用到实际问题中。