证明不等式：||P||² ≤ ||Qn||²，其中 P(x) 和 Qn(x) 是 n 次多项式

定理： 对于任意 n 次多项式 P(x) 和 Qn(x)，在区间 [-1, 1] 上，有以下不等式成立：

||P||² ≤ ||Qn||²

证明：

设 Pn(x) 是在区间 [-1, 1] 上对 P(x) 进行最佳逼近的 n 次多项式。根据最佳逼近的性质，有：

||P - Pn||² ≤ ||P - Qn||²

展开上式，得：

||P||² - 2<P, Pn> + ||Pn||² ≤ ||P||² - 2<P, Qn> + ||Qn||²

由于 Pn 是 P(x) 的最佳逼近，所以 <P, Pn> = ||Pn||²。因此，上式可简化为：

||Pn||² ≤ ||Qn||²

由于 Pn 是 P(x) 在区间 [-1, 1] 上的最佳逼近，所以 ||Pn||² ≤ ||P||²。因此，有：

||P||² ≤ ||Qn||²

结论： 对于任意 n 次多项式 P(x) 和 Qn(x)，在区间 [-1, 1] 上，不等式 ||P||² ≤ ||Qn||² 恒成立。该不等式表明，在相同次数的多项式中，最佳逼近的多项式具有最小范数。

应用： 该不等式在数值分析、逼近理论和信号处理等领域有广泛应用，例如：