证明不等式：∫(-1到1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1到1) Q^2(x) dx (P(x), Q_n(x) ∈ H_n)

证明不等式：∫(-1到1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1到1) Q^2(x) dx (P(x), Q_n(x) ∈ H_n)/n/n假设 P(x) 和 Q_n(x) 是 n 次多项式，即 P(x), Q_n(x) ∈ H_n。我们需要证明以下不等式：/n/n∫(-1到1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1到1) Q^2(x) dx/n/n证明:/n/n由于 P(x) 和 Q_n(x) 是 n 次多项式，它们可以表示为 Legendre 多项式的线性组合：/n/n$$P(x) = /sum_{i=0}^n a_i P_i(x)$$/n/n$$Q_n(x) = /sum_{i=0}^n b_i P_i(x)$$/n/n其中 $a_i$ 和 $b_i$ 是常数，$P_i(x)$ 是第 i 个 Legendre 多项式。/n/n根据 Legendre 多项式的正交性，我们有：/n/n$$/int_{-1}^{1} P_i(x) P_j(x) dx = /frac{2}{2i + 1} /delta_{ij}$$/n/n其中 $/delta_{ij}$ 是 Kronecker delta 符号，当 i = j 时，$/delta_{ij} = 1$，否则 $/delta_{ij} = 0$。/n/n现在我们来计算 ∫(-1到1) P^2(x) dx 和 ∫(-1到1) Q^2(x) dx：/n/n$$/int_{-1}^{1} P^2(x) dx = /int_{-1}^{1} (/sum_{i=0}^n a_i P_i(x))^2 dx = /sum_{i=0}^n /sum_{j=0}^n a_i a_j /int_{-1}^{1} P_i(x) P_j(x) dx = /sum_{i=0}^n a_i^2 /frac{2}{2i + 1}$$/n/n$$/int_{-1}^{1} Q_n^2(x) dx = /int_{-1}^{1} (/sum_{i=0}^n b_i P_i(x))^2 dx = /sum_{i=0}^n /sum_{j=0}^n b_i b_j /int_{-1}^{1} P_i(x) P_j(x) dx = /sum_{i=0}^n b_i^2 /frac{2}{2i + 1}$$/n/n由于 $a_i^2$ 和 $b_i^2$ 都是非负的，因此我们有：/n/n$$/sum_{i=0}^n a_i^2 /frac{2}{2i + 1} /le /sum_{i=0}^n b_i^2 /frac{2}{2i + 1}$$/n/n即：/n/n$$/int_{-1}^{1} P^2(x) dx /le /int_{-1}^{1} Q_n^2(x) dx$$/n/n因此，对于任意多项式 P(x) 和 Q_n(x) 属于 n 次多项式空间 H_n，满足不等式 ∫(-1到1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1到1) Q^2(x) dx。/n/n结论：/n/n我们已经证明了对于任意多项式 P(x) 和 Q_n(x) 属于 n 次多项式空间 H_n，满足不等式 ∫(-1到1) P^2(x) dx ≤ ∫(-1到1) Q_n^2(x) dx。