勒让德多项式与首项系数为1的多项式积分不等式证明

首先，勒让德多项式的定义为：/n/[P_n(x)=/frac{1}{2^n n!}/frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]/]/n其中，/(n/)为非负整数。/n/n进一步地，我们可以得到勒让德多项式的正交性质：/n/[/int_{-1}^{1} P_n(x)P_m(x)dx=/frac{2}{2n+1}/delta_{nm}/]/n其中，/(/delta_{nm}/)为克罗内克符号，当/(n=m/)时为1，否则为0。/n/n另外，我们知道，任意一个首项系数为1的多项式/(Q_n(x)/in H_n/)都可以表示为勒让德多项式的线性组合，即：/n/[Q_n(x)=/sum_{k=0}^{n} a_k P_k(x)/]/n/n因此，我们可以将原不等式表示为：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx/]/n将/(Q_n(x)/)代入得：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /int_{-1}^{1}/left(/sum_{k=0}^{n} a_k P_k(x)/right)^2dx/]/n展开右侧的平方项，得到：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /sum_{k=0}^{n} /sum_{j=0}^{n} a_k a_j /int_{-1}^{1}P_k(x)P_j(x)dx/]/n利用勒让德多项式的正交性质，可以将上式化为：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /sum_{k=0}^{n} /frac{2a_k^2}{2k+1}/]/n因为/(a_0=1/)，所以：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /frac{2}{2n+1}+/sum_{k=1}^{n} /frac{2a_k^2}{2k+1}/]/n注意到/(/frac{2a_k^2}{2k+1}/geq 0/)，因此：/n/[/int_{-1}^{1}P_n^2(x)dx/leq /frac{2}{2n+1}+/sum_{k=1}^{n} /frac{2a_k^2}{2k+1}/leq /sum_{k=0}^{n} /frac{2a_k^2}{2k+1}=/int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx/]/n/n综上所述，我们得到了原不等式的证明。