勒让德多项式平方积分性质证明

首先，勒让德多项式满足正交性质： $$ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{nm} $$ 其中，$\delta_{nm}$为Kronecker delta。

因此，我们可以将$P(x)$表示为$H_n$中其他多项式的线性组合： $$ P(x)=\sum_{k=0}^n a_k Q_k(x) $$ 其中，$a_k$为待定系数。

将$P(x)$代入原式，得到： $$ \int_{-1}^{1}\left(\sum_{k=0}^n a_k Q_k(x)\right)^2dx\leq \int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx $$ 展开平方并交换积分与求和的顺序： $$ \sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^n a_ka_j\int_{-1}^{1}Q_k(x)Q_j(x)dx\leq \int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx $$ 将$Q_k(x)$和$Q_j(x)$代入正交性质中的积分，得到： $$ \sum_{k=0}^n a_ka_j\frac{2}{2k+1}\delta_{kj}\leq \int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx $$ 简化得到： $$ \sum_{k=0}^n a_k^2\frac{2}{2k+1}\leq \int_{-1}^{1}Q_n^2(x)dx $$ 由于$P(x)$是首项系数为1的勒让德多项式，因此$a_0=1$。为了让$P(x)$有最大的平方积分值，我们让$a_k=0(k\neq 0)$，即： $$ P(x)=Q_0(x) $$ 此时，$\int_{-1}^{1}P^2 dx=\int_{-1}^{1}Q_0^2 dx$，原式成立。