牛顿插值与三次样条插值对比 - MATLAB 代码解析 - 常规

牛顿插值与三次样条插值对比 - MATLAB 代码解析

本代码使用 MATLAB 实现牛顿插值法和三次样条插值法，并绘制插值结果对比图，展示两种插值方法的效果。代码逐句解析，方便理解插值过程和原理。

clear; %清空工作区变量
clc; %清空命令窗口
clf; %清空图像窗口
x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; %给定的插值节点
y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; %给定的插值节点处的函数值
n=length(y1); %插值节点的个数
c=y1(:); %将y1列向量化
for j=2:n %求插值节点处的差商
    for i=n:-1:j
        c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));
    end
end
syms x df d; %定义符号变量
df(1)=1;d(1)=y1(1); %初始化牛顿插值多项式的系数和常数项
for i=2:n %求解牛顿插值多项式的系数和常数项
    df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));
    d(i)=c(i)*df(i);
end
P4=vpa(sum(d),5) %将插值多项式写成符号表达式，并保留小数点后5位数

pp=csape(x1,y1, 'variational'); %调用三次样条函数，生成样条插值函数
q=pp.coefs; %取出样条插值函数的系数

for i=1:4 %循环计算四段样条插值函数，并打印结果
    S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i))^1;(x-x1(i))^0];
    S=vpa(collect(S),5)
end

figure %新建一个绘图窗口
ezplot(P4, [0.2,1.08]); %绘制牛顿插值多项式的图像
hold on; %保持图像
x2=0.2:0.08:1.08; %生成更密集的数据点
y2=fnval(pp, x2); %计算样条插值函数在更密集数据点处的函数值
ind=[1,2,11,10]; %选取几个插值节点
y3=fnval(pp,x2(ind)); %计算样条插值函数在选取插值节点处的函数值
plot(x2,y2,'r',x2(ind),y3,'go') %将插值结果和插值节点处的函数值绘制在同一张图上
title('Newton interpolation with deg=4 and cubic splines'); %添加图像标题
hold off; %关闭保持图像状态

代码解析：

清空环境: clear; clc; clf; 分别清空工作区变量、命令窗口和图像窗口，以便从头开始运行代码。
定义插值节点: x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; 定义插值节点和对应函数值。
计算差商: 代码使用嵌套循环计算插值节点处的差商，差商是牛顿插值法的核心概念，用于构造插值多项式。
牛顿插值: 代码利用符号变量 x 定义牛顿插值多项式，并将结果赋值给 P4。
三次样条插值: 代码使用 csape 函数生成三次样条插值函数，并提取样条函数的系数 q。
绘制图像: 代码使用 ezplot 绘制牛顿插值多项式的图像，并使用 plot 绘制三次样条插值函数的图像，将两种插值结果绘制在同一张图上。

总结:

该代码演示了使用 MATLAB 实现牛顿插值法和三次样条插值法，并绘制两种插值结果的对比图，方便直观地比较两种方法的效果。代码逐句解析，方便读者理解插值过程和原理。

相关内容:

牛顿插值法
三次样条插值法
MATLAB 插值函数
插值算法原理

延伸阅读:

希望本文对您有所帮助!