MATLAB 代码逐行解释：LU 分解和高斯消元法求解线性方程组

第一问程序：LU 分解

clear; %清除工作区变量
clc; %清空命令窗口
A=[10  -7        0 1 %定义矩阵A
   -3   2.099999 6 2
    5  -1        5 -1
    2   1        0 2];
b=[8;5.900001;5;1]; %定义向量b
[m,n]=size(A); %获取A的行列数
L=eye(n); %初始化L为单位矩阵
U=zeros(n); %初始化U为0矩阵
flag='ok'; %初始化flag为'ok'
for i=1:n %第一列的U矩阵元素为A矩阵第一列的元素
    U(1,i)=A(1,i);
end
for r=2:n %求L矩阵的每行第一个非零元素
   L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);
end
for i=2:n %高斯消元法求解LU分解
     for j=i:n
         z=L(i,1:i-1)*U(1:i-1,j); %z为A矩阵第i行第j列元素以下的元素乘以L和U的乘积
         U(i,j)=A(i,j)-z; %求出U矩阵的元素
     end
     if abs(U(i,i))<eps %判断U的对角线元素是否为0
         flag='failure' %若为0，则分解失败，输出'failure'
         return; %结束程序
     end
     for k=i+1:n
         m=L(k,1:i-1)*U(1:i-1,i); %m为A矩阵第k行第i列元素以上的元素乘以L和U的乘积
         L(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i); %求出L矩阵的元素
     end
end
L %输出L矩阵
U %输出U矩阵
y=L\b;x=U\y %使用LU分解求解线性方程组
detA=det(L)*det(U) %求解A的行列式值

该程序使用高斯消元法进行 LU 分解，将矩阵 A 分解成下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U。具体步骤如下：

初始化 L 为单位矩阵，U 为零矩阵。
将 A 的第一列元素赋值给 U 的第一列元素。
计算 L 的第一列元素：L(r,1) = A(r,1) / U(1,1)。
使用高斯消元法计算剩余的 U 和 L 元素：
- 计算 z = L(i,1:i-1) * U(1:i-1,j)；
- 计算 U(i,j) = A(i,j) - z；
- 计算 L(k,i) = (A(k,i) - m) / U(i,i)，其中 m = L(k,1:i-1) * U(1:i-1,i)。
判断 U 的对角线元素是否为 0，如果为 0，则分解失败。
使用 LU 分解求解线性方程组：y = L \ b，x = U \ y。
计算 A 的行列式：det(A) = det(L) * det(U)。

第二问程序：高斯消元法

clear; %清除工作区变量
clc; %清空命令窗口
A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]; %定义矩阵A
b=[8;5.900001;5;1]; %定义向量b
[n,n] = size(A); %获取A的行列数
x = zeros(n,1); %初始化x向量为0
P = [1:n]; %初始化P向量为1到n
Aug = [A,b]; %构造增广矩阵

for k = 1:n-1 %循环n-1次
    [piv,r] = max(abs(Aug(k:n,k))); %找出绝对值最大的元素piv和该元素所在的行r
    r = r + k - 1; %r为该元素在原矩阵中的行
    if r>k %如果该元素不在k行，则交换r行和k行
        Aug([k,r],:)=Aug([r,k],:); 
        P([k,r])=P([r,k]);
    end
    if Aug(k,k)==0 %如果对角线元素为0，则程序出错
        error('对角元出现0');
    end
    % 把增广矩阵消元成为上三角矩阵
    for p = k+1:n
        Aug(p,:)=Aug(p,:)-Aug(k,:)*Aug(p,k)/Aug(k,k);
    end
end

% 解上三角方程组
A = Aug(:,1:n);
b = Aug(:,n+1);
x(n) = b(n)/A(n,n); %求出x向量的最后一个元素
for k = n-1:-1:1
    x(k) = (b(k)-A(k,n:-1:k+1)*x(n:-1:k+1))/A(k,k); %通过回代求解x向量的其他元素
end
P %输出列变换向量P
x %输出解向量x
detA=det(A) %求解A的行列式值

该程序使用高斯消元法求解线性方程组，具体步骤如下：

初始化 x 向量为 0，P 向量为 1 到 n，构造增广矩阵 Aug = [A,b]。
对增广矩阵进行消元，将矩阵转化为上三角矩阵：
- 找出第 k 列中绝对值最大的元素 piv 和其所在的行 r。
- 交换 r 行和 k 行，确保对角线元素非零。
- 使用消元操作将第 k 列以下的元素变为 0。
解上三角方程组：
- 从最后一个元素开始，逐步求解 x 向量中的每个元素。
输出列变换向量 P，解向量 x 和 A 的行列式。

这两段代码分别演示了 LU 分解和高斯消元法求解线性方程组的方法，读者可以结合注释理解代码的细节和算法原理。', 'url':