数值积分计算方法：复合梯形公式、复合辛普森公式和龙贝格算法

1. 定义函数 fun41(x)

function y=fun41(x)
y=sqrt(x).*log(x);

该函数输入一个实数 x，输出 sqrt(x)*log(x) 的值。

2. 复合梯形公式和复合辛普森公式

clear;
clc;
h=0.001;     %h为步长,可分别令h=1,0.1,0.01,0.001
n=1/h; 
t=0; 
for i=1:n-1
    t=t+fun41(i*h);
end
T=h/2*(0+2*t+fun41(1));
T=vpa(T,10) 
% 以上为复合梯形公式

% 以下为复合辛普森公式
s1=0;
s2=0;
for i=0:n-1
    s1=s1+fun41(h/2+i*h);
end
for i=1:n-1
    s2=s2+fun41(i*h);
end
S=h/6*(0+4*s1+2*s2+fun41(1));
S=vpa(S,10) 

代码首先清空命令窗口和工作空间，然后定义步长 h 为 0.001，计算 n=1/h，t 初始值为 0。

接着进行 for 循环，从 1 到 n-1，每次计算 fun41(i*h)，并加到 t 上。

最后根据复合梯形公式计算数值积分 T，并使用 vpa 函数保留 10 位有效数字。

接下来采用复合辛普森公式计算数值积分 S，其中 s1 和 s2 为累加和，依次计算，最后计算 S，并使用 vpa 函数保留 10 位有效数字。

3. 龙贝格算法

clear;
clc;
m=16;
h=1;
T(1)=(0+fun41(1))*h/2
for i=2:m
    h=h/2;
    n=1/h;
    t=0;
    for j=1:2:n-1
        t=t+fun41(j*h);
    end
    T(i)=T(i-1)/2+h*t;%梯形公式
end
for i=1:m-1
    for j=m:i+1
        T(j)=4^i/(4^i-1)*T(j)-1/(4^i-1)*T(j-1);
        %通过不断的迭代求得T(j)，即T表的对角线上的元素。
    end
end
vpa(T(m),10)

代码首先清空命令窗口和工作空间，然后定义 m=16，h=1，T(1)=(0+fun41(1))*h/2。

接下来进行 for 循环，从 2 到 m，每次将 h 除以 2，计算 n=1/h，t 初始值为 0。

接着进行 for 循环，从 1 到 n-1，每次计算 fun41(j*h)，并加到 t 上。

最后根据梯形公式计算 T(i)。

接下来进行另一个 for 循环，从 1 到 m-1，每次进行嵌套循环，从 j=m 到 i+1，每次计算 T(j) 的值，并不断迭代求得 T(j)。

最后使用 vpa 函数保留 10 位有效数字，输出 T(m) 的值。这是使用龙贝格算法计算数值积分的过程。

注意：

• 代码中的 vpa(T, 10) 和 vpa(S, 10) 使用了 MATLAB 的 vpa 函数来计算数值积分结果的 10 位有效数字。
• 代码中使用的 fun41 函数可以根据需要进行修改，以计算其他函数的数值积分。
• 龙贝格算法的代码实现需要根据实际情况进行调整，例如 m 值的选择以及循环的范围。