严格对角占优矩阵的Jacobi迭代和Seidel迭代收敛性

设矩阵A是严格对角占优矩阵，则线性方程组的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初始向量都收敛。/n/n由于矩阵A是严格对角占优矩阵，即对于每一行，该行对角线上的元素的绝对值大于该行其他元素绝对值之和，即/n$$//|a_{ii}|>/sum_{j/neq i}|a_{ij}|$$ /n因此，矩阵A是可逆的，且其逆矩阵也是严格对角占优矩阵。/n/n对于Jacobi迭代，其迭代矩阵为$D^{-1}(L+U)$，其中D为A的对角线矩阵，L和U分别为A的严格下三角和严格上三角矩阵。因为A是可逆的，所以$D^{-1}$存在，且有/n$$//begin{aligned}//|D^{-1}(L+U)//|{/infty}&=/max{1/leq i/leq n}/sum_{j=1,j/neq i}^{n}/frac{|a_{ij}|}{|a_{ii}|}////&<1//end{aligned}$$ /n因此，Jacobi迭代收敛。/n/n对于Seidel迭代，其迭代矩阵为$(D-L)^{-1}U$，同样可以证明其收敛。因此，对于任意初始向量，Jacobi迭代和Seidel迭代都收敛。