均匀分布下的二维随机变量联合分布函数求解

设(X,Y)在区域G（0<y<2x,0 <x <2) 上服从均匀分布，求(X,Y)的联合分布函数。

由于(X,Y)在区域G上服从均匀分布，则其概率密度函数为:

f(x,y) = 1/S, 若(x,y)∈G

其中，S表示区域G的面积为:

S = ∫∫G dx dy

由于区域G的边界为y=2x和x=2，则有:

S = ∫0^2 ∫0^2x 1 dy dx + ∫2^4 xdx

S = ∫0^2 2xdx + ∫2^4 xdx

S = 8

因此，概率密度函数可以写为:

f(x,y) = 1/8, 若(x,y)∈G

接下来，求联合分布函数F(x,y)，可以根据定义，将概率密度函数积分得到：

F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)

= ∫0^y ∫0^x f(u,v) du dv

= ∫0^y ∫0^x 1/8 du dv

= 1/8 ∫0^y x dy

= 1/16 y^2, 若0 < y ≤ 2x, 0 < x ≤ 2

= 1/8 x^2, 若0 < x ≤ 2y, 0 < y ≤ 2

= 0, 其他情况

因此，(X,Y)的联合分布函数为：

F(x,y) =

{ 1/16 y^2, 若0 < y ≤ 2x, 0 < x ≤ 2

{ 1/8 x^2, 若0 < x ≤ 2y, 0 < y ≤ 2

{ 0, 其他情况