均匀分布下二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数

设 (X,Y) 在区域 G (0 < y < 2x, 0 < x < 2) 上服从均匀分布，求 (X,Y) 的联合分布函数。/n/n对于任意 (x,y) ∈ G，有：/n/n$$F_{X,Y}(x,y)=P(X ≤ x, Y ≤ y)$$/n/n根据几何意义，可以将 G 分成两个三角形，如下图所示：/n/n[图片]/n/n因此，当 0 < y < x 时，有：/n/n$$F_{X,Y}(x,y)=/int_0^y /int_0^x /frac{1}{4} dxdy=/frac{xy}{8}$$/n/n当 y ≥ x 时，有：/n/n$$F_{X,Y}(x,y)=/int_0^x /int_0^y /frac{1}{4} dydx + /int_x^y /int_0^x /frac{1}{4} dxdy = /frac{x^2}{8}+/frac{y^2-x^2}{8}=/frac{y^2}{8}$$/n/n综上所述，F_{X,Y}(x,y) 的表达式为：/n/n$$F_{X,Y}(x,y)=/begin{cases}/n0,&y ≤ 0 或 y ≥ 2x///n/frac{xy}{8},&0<y<x///n/frac{y^2}{8},&y ≥ x/n/end{cases}$