高中数学 问题答疑：正态分布应用

(i) 首先将正态分布标准化，即令$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$X$为身高，$\mu = 170$为均值，$\sigma = 50$为标准差。则$Z$服从标准正态分布。

要估计身高在164厘米到182厘米之间的学生人数，可以计算$Z_{164} = \frac{164 - 170}{50} = -0.12$和$Z_{182} = \frac{182 - 170}{50} = 0.24$对应的标准正态分布概率值，分别为0.4522和0.5948。因此，估计身高在164厘米到182厘米之间的学生人数为100 \times (0.5948 - 0.4522) = 14.26人，约为14人。

(ii) 要求身高小于150厘米的比例等于身高大于$y$厘米的比例，可以写出以下方程： $$P(X < 150) = P(X > y)$$ 将$X$标准化后，得到： $$P(Z < \frac{150 - 170}{50}) = P(Z > \frac{y - 170}{50})$$ 化简可得： $$P(Z < -0.4) = P(Z > \frac{y - 170}{50})$$ 由标准正态分布的对称性，$P(Z < z) = P(Z > -z)$，因此： $$P(Z > 0.4) = P(Z > \frac{y - 170}{50})$$ 查正态分布表可得$P(Z > 0.4) = 0.3446$，因此： $$0.3446 = P(Z > \frac{y - 170}{50})$$ 查正态分布表可得$\frac{y - 170}{50} = 0.41$，因此： $$y = 191$$

(iii) 设超过175厘米的学生身高标准化后为$Z$，则有： $$P(Z > \frac{175 - u}{10}) = 0.25$$ 查正态分布表可得$\frac{175 - u}{10} = 0.6745$，因此： $$u = 168.255$$ 约为168.3厘米。