拉格朗日定理求解风险最小化：收益一定，如何优化投资组合

首先，我们定义目标函数为：

目标函数 F = ∑WiRI

约束条件为：

E(∑WiRi) = a

根据拉格朗日定理，我们引入拉格朗日乘子λ，构建拉格朗日函数：

L = ∑WiRI + λ(E(∑WiRi) - a)

然后，对目标函数和约束条件求偏导数，得到：

∂L/∂Wi = RI + λ(E(Ri)) = 0

∂L/∂λ = E(∑WiRi) - a = 0

将上述两个方程联立解得：

RI + λ(E(Ri)) = 0

E(∑WiRi) = a

将第一个方程展开，得到：

RI + λ(E(Ri)) = 0

RI + λ∑(WiRi) = 0

RI + λ∑WiE(Ri) = 0

将第二个方程代入第一个方程，得到：

RI + λ∑WiE(Ri) = 0

RI + λa = 0

解得：

λ = -RI / a

将λ代入第一个方程，得到：

RI - RI / a * ∑WiE(Ri) = 0

RI * (1 - ∑WiE(Ri) / a) = 0

由于RI不可能为0，所以必须满足：

1 - ∑WiE(Ri) / a = 0

∑WiE(Ri) = a

最终得到最小风险的解为：

∑WiE(Ri) = a

即收益的加权平均值等于目标收益a。