拉格朗日中值法证明：两种资产最小化投资组合风险

要证明 D(∑Wᵢrᵢ) 风险最小，可以使用拉格朗日中值法。首先，我们可以设定一个拉格朗日函数 L:

L = ∑Wᵢrᵢ + λ(∑Wᵢ - 1)

其中，λ 是拉格朗日乘子。

为了找到 L 的最小值，我们需要对 Wᵢ 和 λ 求偏导数，并令其等于零:

∂L/∂Wᵢ = rᵢ + λ = 0 (1)

∂L/∂λ = ∑Wᵢ - 1 = 0 (2)

将方程 (1) 代入方程 (2) 中，我们可以得到:

∑(-λ) = ∑rᵢ

λ = -∑rᵢ

将 λ 代回方程 (1) 中，我们可以得到:

rᵢ - ∑rᵢ = 0

rᵢ = ∑rᵢ

这意味着所有资产的收益率都相等。

因此，当所有资产的收益率相等时，D(∑Wᵢrᵢ) 的风险最小。此时，我们可以得出结论:

Wᵢ = 1/n

其中，n 是资产的数量。

换句话说，当所有资产的权重相等时，D(∑Wᵢrᵢ) 的风险最小。